Limes einer gleichmäßig stetigen Funktion im Maßraum R zeigen

12.04.2012, 13:57	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes einer gleichmäßig stetigen Funktion im Maßraum R zeigen Meine Frage: Hallo Leute! Ich habe hier eine Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn mir jemand hilft. Es geht um den Maßraum $\begin{eqnarray} ( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R}), \lambda) \end{eqnarray}$ . Dabei soll $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ das Lebesgue-Maß ist. Die Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig und $\begin{eqnarray} f \in \mathcal{L}^{1}( \lambda) \end{eqnarray}$ . Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = 0 \end{eqnarray}$ ist. Außerdem soll untersucht werden, ob das auch noch gilt, wenn die Funktion "nur" stetig ist. Meine Ideen: Ich habe mir das mal logisch überlegt und denke, dass ich es erklären kann, aber ich kann es nicht beweisen. Der Maßraum klingt ja eigentlich wie der normale $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , also kann ich mir die Funktion doch praktisch gesehen im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray}$ vorstellen. Die fliegt da also irgendwie gleichmäßig stetig rum. Da sie $\begin{eqnarray} \in \mathcal{L}^{1}( \lambda) \end{eqnarray}$ ist die Fläche darunter enlich. (Zumindest habe ich das so verstanden. Bitte verbessert mich, wenn ich da falsch liege.) Wenn die Fläche darunter aber endlich ist muss die Funktion ja aber im Unendlichen gegen 0 gehen. Sonst käme da ja immer mehr und mehr Fläche dazu und das wäre irgendwann nicht mehr endlich. So erkläre ich mir das. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie man das ordentlich zeigen könnte. Ich denke schon, dass das auch noch gilt, wenn die Funktion "nur" noch stetig ist. Zumindest finde ich da bei meiner Erklärung keinen Widerspruch. Ich finde einfach keinen Weg zur Lösung und wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
12.04.2012, 15:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes einer gleichmäßig stetigen Funktion im Maßraum R zeigen Bei stetigen Funktionen kann man das nicht aussagen. Suche dir eine Funktion, bei der in jedem Intervall [n,n+1] Flächenstücke hinzukommen, die summierbar sind, z.B. der Größe 1/n². (hier kann man sogar eine unbeschränkte Funktion konstruieren, die trotzdem stetig und integrierbar ist) Daher solltest du im ersten Beweis auch die gleichmäßige Stetigkeit benutzen. mfg, Ché Netzer
12.04.2012, 15:24	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... Vielen Dank für deine Antwort!! Ich könnte mir eine Funktion vorstellen, die bei jeder natürlichen Zahl eine Spitze mit dem Flächeninhalt 1/n² hat. Der Flächeninhalt würde sich für größere n an 0 annähern. Allerdings kann ich mir nicht vorstellen, dass diese Funktion gleichmäßig stetig ist. Zu Beginn vielleicht, aber später werden die Spitzen doch immer spitzer. Soll das wirklich noch gleichmäßig stetig sein? Ich müsste das doch für jede Funktion zeigen, die den Voraussetzungen genügt. Wie kann ich das schaffen?
12.04.2012, 15:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ok... Das war ja gerade zur Frage nach stetigen Funktionen gemeint. Nicht zu gleichmäßig stetigen.
12.04.2012, 16:09	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... Achso... Joa, wenn ich diese Funktion als Gegenbeispiel nehme und die ja offensichtlich stetig ist, ist der Flächeninhalt weniger als unendlich, aber da die Spitzen immer bis zu einer bestimmten Zahl definiert sind, geht das nicht gegen 0. Cool! Kann man das auch ohne Text schreiben? Wie würde denn die Funktion heißen? Hat die schon einen Namen? Hast du auch eine Idee für den gleichmäßig-stetigen-Teil der Aufgabe? Ich kann es wie gesagt erklären, aber nicht beweisen.

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