Optimierungsproblem

12.04.2012, 16:15

earthie

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Optimierungsproblem

Hallo liebe intelligente Community smile

smile

,

ich habe das folgende Optimierungsproblem:

maximiere $\begin{eqnarray*} U(c,l)=c^{\alpha}\cdot l^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$
unter
1. $\begin{eqnarray*} c\cdot p + l\cdot w \leq T\cdot w \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} l\leq T \end{eqnarray*}$

ferner gilt:
$\begin{eqnarray*} 0 < \alpha < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c,p,l,w,T \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich das Ganze mit den Kuhn-Tucker Bedinungungen lösen, da dies in der Vorlesung so präsentiert wurde. Das sieht dann bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} \nabla U = \begin{pmatrix} \alpha (\frac{l}{c} )^{1-\alpha} \\ (1-\alpha)(\frac{c}{l})^{\alpha} \end{pmatrix}=\lambda_{1}\begin{pmatrix} p \\ w \end{pmatrix} + \lambda_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was ich nach den Lambdas auflöse:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{\alpha}{p} (\frac{l}{c} )^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=(1-\alpha-\frac{w\alpha l}{pc} ) (\frac{c}{l})^{\alpha} \end{eqnarray*}$

Die Frage, wie weiter?
Ich bin so weit, dass beide Lambdas ungleich 0 sei müssen, ansonsten gälte
bei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ =0 => l=0 => U=0
bei $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ =0 => l=T => cp+lw<Tw => cp < 0

Wie finde ich jetz die optimale Lösung (c,l)?

Danke für eure Hilfe!
lg earthie

12.04.2012, 19:25

Kasen75

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Hallo,

Ich mache jetzt mal einen Vorschlag. Wenn es dir irgendwie bekannt vorkommt, dann hat es geholfen. Ich habe es für diese Art von Problemen so gelernt. Wenn es nicht zu deinem Problem passt, dann war es nur ein Versuch.

Wenn ich das richtig sehe, hast du hier die Ableitungen nach c und l gemacht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla U = \begin{pmatrix} \alpha (\frac{l}{c} )^{1-\alpha} \\ (1-\alpha)(\frac{c}{l})^{\alpha} \end{pmatrix}=\lambda_{1}\begin{pmatrix} p \\ w \end{pmatrix} + \lambda_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du die beiden ersten KKT-Kriterien aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial c} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial l} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Weitere Kriterien:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \cdot \frac{\partial U}{\partial c} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l \cdot \frac{\partial U}{\partial l} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} = 0 \end{eqnarray*}$

Und es muss gelten: $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, c, l, \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man folgende Fälle untersuchen:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ = 0

3. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ =0, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

4. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ = 0

Im günstigen Fall kann man daraus c, l und die beiden Lambdas bestimmen.

Mit freundlichen Grüßen.

13.04.2012, 10:21

earthie

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Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe im Folgenden die konkreten Kriterien mal ausgerechnet, sehe aber nicht wie die mir weiterhelfen können.

Habe ich etwas übersehen oder falsch interpretiert?

Zitat:

Damit kannst du die beiden ersten KKT-Kriterien aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial c} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial l} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha (\frac{l}{c} )^{1-\alpha}\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-\alpha)(\frac{c}{l})^{\alpha} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} c \cdot \frac{\partial U}{\partial c} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l \cdot \frac{\partial U}{\partial l} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \cdot \frac{\partial U}{\partial c} = \alpha c^{\alpha} l^{1- \alpha}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l \cdot \frac{\partial U}{\partial l} = (1-\alpha)c^{\alpha}l^{1-\alpha}=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weitere Kriterien:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} = 0 \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz, U ist doch von Lambda unabhängig und darum sind die Ableitungen 0, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_1}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_2}= 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und es muss gelten: $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, c, l, \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man folgende Fälle untersuchen:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ = 0

3. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ =0, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

4. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ = 0

Im günstigen Fall kann man daraus c, l und die beiden Lambdas bestimmen.

Wir haben ja
$\begin{eqnarray*} \nabla U = \begin{pmatrix} \alpha (\frac{l}{c} )^{1-\alpha} \\ (1-\alpha)(\frac{c}{l})^{\alpha} \end{pmatrix}=\lambda_{1}\begin{pmatrix} p \\ w \end{pmatrix} + \lambda_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{\alpha}{p} (\frac{l}{c} )^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=(1-\alpha-\frac{w\alpha l}{pc} ) (\frac{c}{l})^{\alpha} \end{eqnarray*}$

Soweit meine Feststellungen:
2 und 3. Fall: wenn Lambda 1=0, dann gilt l=0 und auch U=0, dies ist sicher kein Maximum.

4. Fall: wenn Lambda 2=0, dann gilt so weit ich das verstanden habe, dass die bindende Bedingung $\begin{eqnarray*} l=T \end{eqnarray*}$ eintritt. Dies ist mit strikter Ungleichung in Bedingung 1:
( $\begin{eqnarray*} c\cdot p + l\cdot w < T\cdot w \end{eqnarray*}$ aber unmöglich.

Also muss m.E. nach das Maximum im 1. Fall sein. Womit ich noch gleich weit bin wie am Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss

13.04.2012, 11:53

Kasen75

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Hallo,

Zitat:

Das verstehe ich nicht ganz, U ist doch von Lambda unabhängig und darum sind die Ableitungen 0, oder nicht?

Es war ungünstig, dass ich mit Lambda die Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet habe. Aber ich behalt das jetzt mal bei. Ich stell jetzt mal die Lagrangfunktion auf, wobei ich sie weiter U nenne, damit es auch hier mit den Formeln passt.

$\begin{eqnarray*} U(c,l)=c^{\alpha}\cdot l^{1-\alpha}+\lambda_1 \cdot (T\cdot w - c\cdot p - l\cdot w ) + \lambda_2 \cdot (T-l) \end{eqnarray*}$

Jetzt ergibt z.B.:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot ( T\cdot w - c\cdot p - l\cdot w) = 0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} c \cdot \frac{\partial U}{\partial c} = c \cdot \bigl( \alpha \cdot c^{\alpha -1} \cdot l^{1-\alpha} - \lambda_1 \cdot p \bigr)= 0 \end{eqnarray*}$

Ich hätte gleich die Funktion aufstellen sollen. Sorry. Ich hoffe es ist jetzt klarer was ich gemeint habe.

zum Verständnis: Die Nebenbedingungen wurden so umgestellt, dass sie $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Melde dich jedenfalls nochmal. Würde gern wissen ob es geklappt hat.

Mit freundlichen Grüßen

13.04.2012, 13:14

earthie

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Ich habe jetzt einmal die Kriteriensammlung für die Lagrangefunktion erstellt.
Bevor ich damit weiterrechne, sieht das plausibel aus?

$\begin{eqnarray*} U(c,l)=c^{\alpha}\cdot l^{1-\alpha}+\lambda_1 \cdot (T\cdot w - c\cdot p - l\cdot w ) + \lambda_2 \cdot (T-l) \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial c}= \alpha \cdot c^{\alpha -1} \cdot l^{1-\alpha} - \lambda_1 \cdot p \geq 0 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial l}=(1-\alpha)\cdot \bigl( \frac{c}{l} \bigr) ^{\alpha} - \lambda_{1}\cdot w +\lambda_{2}\cdot T\geq 0 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} c \cdot \frac{\partial U}{\partial c}=\alpha \cdot c^{\alpha} \cdot l^{1-\alpha} - c \cdot \lambda_1 \cdot p = 0 \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} l \cdot \frac{\partial U}{\partial l}=l \cdot (1-\alpha)\cdot \bigl( \frac{c}{l} \bigr) ^{\alpha} - l\cdot \lambda_{1}\cdot w +\lambda_{2}\cdot l\cdot T = 0 \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} = T\cdot w - c\cdot p - l\cdot w\geq 0 \end{eqnarray*}$

6) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} =T- l\geq 0 \end{eqnarray*}$

7) $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_1} =\lambda_1 \cdot ( T\cdot w - c\cdot p - l\cdot w) = 0 \end{eqnarray*}$

8) $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} = \lambda_2 \cdot (T-l)= 0 \end{eqnarray*}$

Das Ziel ist es jetzt in jedem der 4 Fälle diese Gleichungen nach c und l aufzulösen, und zu schauen wo U maximal ist?

Gruss

13.04.2012, 13:52

Kasen75

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Du nimmst z.B. beim ersten Fall an, dass die beiden Lambdas größer Null sind.

In Gleichung 8 steht da:
$\begin{eqnarray*} \lambda_2 \cdot \frac{\partial U}{\partial \lambda_2} = \lambda_2 \cdot (T-l)= 0 \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt Fall 1 gilt, dann muss ja der Ausdruck (T-l) Null sein, damit die Gleichung stimmt. Damit ist aber auch T = l.

Mit dieser Erkenntnis und der Annahme, dass die beiden Lambdas größer Null sind untersuchst du noch die anderen Gleichungen.

Es kann sein, dass dann irgendwo ein Widerspruch auftaucht, dann bekommst du für Lambda 1 und Lambda 2 größer Null keine Lösung.

Dann gehst du zum zweiten Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda_2 , \lambda_1 = 0. \end{eqnarray*}$

Du schaust praktisch bei allen vier Fällen, ob ein Widerspruch eintritt oder eine Lösung herauskommt.

Deine Gleichungen sehen gut aus. Freude

Freude

Hast du denn, für p, w, t keine Werte? Das würde die Sache wahrscheinlich vereinfachen. Oder müsst ihr es allgemein lösen.

Ich versuch es jedenfalls jetzt auch mal zu lösen. Zwar nicht sofort, aber später.

Versuch doch einfach mal den ersten Fall. Ob da eine Lösung rauskommt oder Widerspruch (keine Lösung) auftaucht.

Mit freundlichen Grüßen.

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13.04.2012, 14:17

Kasen75

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c und l sind natürlich auch beide $\begin{eqnarray*} \geq 0. \end{eqnarray*}$

Die Ableitung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial l}=(1-\alpha)\cdot \bigl( \frac{c}{l} \bigr) ^{\alpha} - \lambda_{1}\cdot w - \lambda_{2}\cdot l \geq 0 \end{eqnarray*}$

müsste so heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial l}=(1-\alpha)\cdot \bigl( \frac{c}{l} \bigr) ^{\alpha} - \lambda_{1}\cdot w - \lambda_{2}\cdot T \geq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ändert sich auch Gleichung 4

13.04.2012, 14:35

earthie

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Die Aufgabe sollte schon allgemein gelöst werden, die Variablen stehen für ökonomische Grössen:

T: verfügbare Zeit
l: Freizeit
h=T-l: Arbeitzeit
c: Nahrungseinheit
p: Preis einer Nahrungseinheit
w: Stundenlohn

und diese Optimierung ist nur eine Teilaufgabe einer Teilaufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

nachher geht es noch darum das "Arbeitsangebot" (supply of labour) h*(p,w,T) zu berechnen.

Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

edit: 2) und 4) korrigiert

13.04.2012, 14:53

earthie

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Es gilt insbesondere:
p,T,w>0

13.04.2012, 15:39

earthie

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So, ich habe mal mit der Rechnung angefangen:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}>0 \end{eqnarray*}$ .
Dann folgt mit 8): $\begin{eqnarray*} T=l \end{eqnarray*}$
aus 5): $\begin{eqnarray*} -c\cdot p \leq 0 \end{eqnarray*}$
somit: $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
mit 4) gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=-\lambda_{2}\cdot \frac{T}{w} \end{eqnarray*}$
was die Fälle 1 und 3 bereits ausschliesst.

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \end{eqnarray*}$ .
mit 3) folgt: $\begin{eqnarray*} l = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ was aber in 1) resp 2) einen Widerspruch gibt (Division durch 0)

Bleibt also nur noch dieser Fall:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}>0, \lambda_{2}=0 \end{eqnarray*}$ .
**) aus 7) folgt: $\begin{eqnarray*} c=\frac{T-l}{p}\cdot w) \end{eqnarray*}$
*) mit 3): $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{\alpha}{p}\cdot c^{\alpha-1}l^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$
*) und 4): $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{1-\alpha}{w}c^{\alpha}l^{-\alpha} \end{eqnarray*}$
**) aus *): $\begin{eqnarray*} c=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot \frac{w}{p}\cdot l \end{eqnarray*}$
und schliesslich aus **): $\begin{eqnarray*} l=(1-\alpha)\cdot T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\frac{\alpha\cdot w}{p} \end{eqnarray*}$

So, das sieht ja gar nicht mal so schlecht aus. Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!

Gruss

13.04.2012, 16:31

Kasen75

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Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} l = T \cdot (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ . Auch beim Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}>0, \lambda_{2}=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir es beide haben, dann muss es ja stimmen. Tanzen

Tanzen

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{Congratulation!} \end{eqnarray*}$

War ganz schön tricky?

Ich habe noch mal ´ne Frage: Wie konntest du den einen Beitrag noch so spät editieren?
Das war übrigens sinnvoll, sonst wird man ja ganz verrückt.

13.04.2012, 19:40

earthie

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super!

Prost

Naja, die Bedingen 3) und 4) fallen für mich noch ein bisschen aus den Wolken. Ansonsten heisst es, nur keine Rechenfehler! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank nochmal, für deine grossartige Unterstützung Freude

Freude

PS: Falls du zufällig noch eine Idee hast, was mit "Find an expression for the supply of labor h*(p,w,T)" gemeint ist, dann wäre der Tag perfekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

13.04.2012, 21:49

Kasen75

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Hallo,

für mich ist es auch mehr ein rätseln als rechnen. Aber hat auch irgendwie Spaß gemacht.

Im Moment habe ich dazu keine Ideen. Höchstens wenn du mal postest, was die einzelnen Variablen bedeuten.

Meine Ideen:

c = Konsum
l = Anzahl der Arbeitskräfte
p = Preisniveau
w = Lohn

Aber was ist T und was bedeutet die Ungleichung $\begin{eqnarray*} c\cdot p + l\cdot w \leq T\cdot w \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen Grüßen

14.04.2012, 10:15

earthie

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hier sind die Variablen erklärt:

Zitat:

Original von earthie
Die Aufgabe sollte schon allgemein gelöst werden, die Variablen stehen für ökonomische Grössen:

T: verfügbare Zeit
l: Freizeit
h=T-l: Arbeitzeit
c: Nahrungseinheit
p: Preis einer Nahrungseinheit
w: Stundenlohn

und diese Optimierung ist nur eine Teilaufgabe einer Teilaufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

nachher geht es noch darum das "Arbeitsangebot" (supply of labour) h*(p,w,T) zu berechnen.

Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

edit: 2) und 4) korrigiert

und die zwei Bedingungen bedeuten:
Arbeitszeit<=verfügbare Zeit
Ausgaben<=Einnahmen

Gruss

14.04.2012, 10:38

earthie

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ich hab da einen guten Link zur Theorie gefunden:
http://www.econ.ucsb.edu/~pjkuhn/Ec250A/.../A_StaticLS.pdf

Auf dieses Beispiel angewendet erhält man also folgende Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \frac{w}{p} U_{1}(\frac{wh}{p},T-h)-U_{2}(\frac{wh}{p},T-h)=0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nur noch nicht ganz sicher ob mit U_1 und U_2 die partiellen Ableitungen nach c und l gemeint sind...

Keep you posted... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2012, 10:59

earthie

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und weiter steht als Tipp in der Aufgabe noch:

hint: maximize utility subject to the constraint that the total time T can be allocated between work h and leisure l and that his total income wh can only be spent on food c.

14.04.2012, 11:12

earthie

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RE: Optimierungsproblem
Das ergibt die Lösung:
$\begin{eqnarray*} h*= \alpha T \end{eqnarray*}$

Genau wie wenn man h aus unserem optimalen l berechnet:
$\begin{eqnarray*} h*=T-l=T-(T(1-\alpha))=\alpha T \end{eqnarray*}$

und übrigens auch, wenn man
$\begin{eqnarray*} U(\frac{wh}{p},T-h) \end{eqnarray*}$ nach h maximiert

das sieht dann wohl alles korrekt aus smile

smile

mich verwirrt nur, dass h* unabhängig von w und p ist...

Aber seis drum, werde das wohl so dokumentieren, ausser du hättest da noch einen genialen Geistesblitz Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss, und nochmals vielen Dank!

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