Verständnis: Aufgabe mit Vandermonde-Matrix

22.01.2007, 20:56

Kneifzange

Verständnis: Aufgabe mit Vandermonde-Matrix

Hallo,

in der Numerik ist ja die Vandermonde-Matrix von großer Bedeutung. Allerdings wurde mir meinen Lösungen immer etwas angestrichen und in den Übungen auch (m.E.) etwas falsch gemacht.

Hier mal eine Beispielaufgabe, wo der Fehler vorkommt:

Zitat:

Sei durch $\begin{eqnarray*} a \leq x_0 < ... < x_n \leq b \end{eqnarray*}$ eine beliebige aber fest vorgegebene Unterteilung des Intervalls [a,b] gegeben. Zeigen Sie, daß es dann eindeutig bestimmte Zahlen $\begin{eqnarray*} \gamma_0,...,\gamma_n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} \gamma_i p(x_i) = \int_a^b p(x) dx \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} p \in \mathcal{P}_n \end{eqnarray*}$ (also die algebraischen Polynome vom Höchstgrad n)

Das ist so eine typische Aufgabe, wo man einfach nur das LGS als Matrix schreiben muß. Bei mir hätte das nun wie folgt ausgesehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 & ... & 1 \\ x_0 & x_1 & ... & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_0^n & x_1^n & ... & x_n^n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma_0 \\ \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \int_a^b 1 dx \\ \int_a^b x dx \\ \vdots \\ \int_a^b x^n dx \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun wurde mir in meiner Übungsbearbearbeitung angestrichen, daß in meiner ersten Zeile der Vandermondeschen Matrix 1-en stehen. Die wurden mir durchgestrichen und $\begin{eqnarray*} x_0^1, x_1^1,...,x_n^1 \end{eqnarray*}$ darübergeschrieben. Damals dachte ich mir ich hätte mich in einer Zeile vertan oder so - aber jetzt beim Nachrechnen ists mir wieder aufgefallen.
Und in der Übung haben wir dann nicht nur die erste Zeile weggelassen, sondern die ganze Matrix transponiert geschrieben geschockt

Da ist doch gehörig etwas schiefgelaufen ... oder ich verstehe die Welt nicht mehr verwirrt

22.01.2007, 21:02

tigerbine

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RE: Verständnis: Aufgabe mit Vandermonde-Matrix
Also in meinem Buch und in der Vorlesung haben wir Vandermonde-Matrix auch unterschiedlich tituliert. Keine anhung warum. Aber Das hat nie zu Problemen bei der Korrektur geführt.

An dem LGS sehe ich so keinen Fehler.

22.01.2007, 22:05

Kneifzange

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Danke.
Ich war jetzt beinahe etwas verunsichert... zumal da LGS gar nicht stimmt wenn die Vandermonde-Matrix hier transponiert geschrieben wird.

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