Integral über einem offenen Intervall

12.04.2012, 18:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über einem offenen Intervall Meine Frage: Hallo Leute, ich muss folgendes zeigen: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx = \int_a^c \! f(x) \, dx + \int_c^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ unabhängig von der Wahl von c ist. Hier ist ein Intervall I = (a,b) gegeben und c ist Element I. Ich habe das so verstanden, dass ich ja die Grenzen a,b ja nicht einsetzen kann, da es sich um ein offenes Intervall handelt, also suche ich mir ein c aus dem Intervall und integriere von a bis c und von c bis b. Das heißt ich habe 2 halb offene Intervall. Diese integriere ich so: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx = \lim_{\beta \to -b} \int_a^\beta \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei hier jetzt J = [a,b) das halb offene Intervall beschreiben würde. Analog: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx = \lim_{\alpha \to a} \int_\alpha^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei hier jetzt H = (a,b] das halb offene Intervall beschreiben würde. hier steht allerdings +a und nicht wie oben -b da ich mich ja dieses mal von rechts nähere (oder?) Meine Ideen: Okay, dass sich das Integral im Grunde nicht ändert, wenn ich ein anderes c wähle erscheint mir logisch, den je nach dem wie ich mein c wähle ist eben das eine Integral größer oder kleiner, aber die Summe bleibt eben gleich. Aber wie zeige ich das mathematisch? Um zu zeigen, dass es unabhängig von der Wahl von c ist müsste sich ja durch umstellen, das c irgendwie eliminieren lassen.. Ist das der richtige Ansatz? Danke für die Hilfe!!!
12.04.2012, 19:07	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über einem offenen Intervall Hier gleich mal mein erster Lösungsversuch oder Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} I = (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \in I \end{eqnarray}$ , betrachte: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx := \int_a^c \! f(x) \, dx + \int_c^b \! f(x) \, dx = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{\alpha \to a} \int_\alpha^c \! f(x) \, dx + \lim_{\beta \to -b} \int_c^\beta \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Sein nun $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ eine beliebige Stammfunktion von f(x), dann folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{\alpha \to a} (F(c) - F(\alpha)) + \lim_{\beta \to -b} (F(\beta) - F(c) ) \end{eqnarray}$ Mit den Grenzwertsätzen folgt dann: $\begin{eqnarray} \lim_{\alpha \to a} F(c) - \lim_{\alpha \to a} F(\alpha) + \lim_{\beta \to -b} F(\beta) - \lim_{\beta \to -b} F(c) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(c) - \lim_{\alpha \to a} F(\alpha) + \lim_{\beta \to -b} F(\beta) - F(c) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \lim_{\alpha \to a} F(\alpha) + \lim_{\beta \to -b} F(\beta) = \lim_{\beta \to -b} F(\beta) - \lim_{\alpha \to a} F(\alpha) \end{eqnarray}$ so jetzt ist ja der Teil mit dem c drinnen rausgeflogen, das zeigt doch eigentlich schon die Unabhängigkeit oder? Danke für die Korrektur!!!
14.04.2012, 14:02	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über einem offenen Intervall passt das so?

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