Negation von Aussagen - mechanische Regel

12.04.2012, 22:55

Christian_P

Negation von Aussagen - mechanische Regel

folgende Aussage soll negiert werden:

Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.

die Nagation wäre dann:

Es existiert eine gerade Zahl n größer oder gleich 4, die nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.

Ich habe die Negation unter Anwendung folgender mechanischer Regel angewandt:

$\begin{eqnarray*} \neg\left( \forall x\in \mathcal{X}: \, A(x) \right) \Leftrightarrow \left(\exists x\in \mathcal{X}: \, \neg A(x)\right) \end{eqnarray*}$

x Element von X ist in den obigen Formulierungen nur implizit vorhanden, das soll aber nicht weiter schlimm sein.

Ich hoffe, das ich die Negation so richtig formuliert habe.

Noch mehr Probleme habe ich bei dieser Aussage:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ existiert eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leqslant x <1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x^n)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich habe mal versucht das umzuschreiben in logische Symbolik:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists n \in \mathbb{N}\wedge f \, \left(\forall x:0 \leqslant x <1(f(x^n)<\epsilon)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall \epsilon >0 \quad \exists n \in \mathbb{N}\wedge f \, \left(\forall x:0 \leqslant x <1(f(x^n)<\epsilon)\right))\Leftrightarrow(\exists \epsilon >0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\wedge f \, \left(\forall x:0 \leqslant x <1(f(x^n)\geqslant\epsilon)\right)) \end{eqnarray*}$

Sind die Aussagen so richtig negiert? die Aussagen dürfen inhaltlich falsch sein, Hauptsache ist die richtige Negation.

Grüße Wink

12.04.2012, 23:24

weisbrot

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RE: Negation von Aussagen - mechanische Regel
das erste haste richtig gemacht.
die zweite aussage hast du aber nicht agnz richtig formuliert (das logische und hat da nichts verloren und der zweite teil haut nicht ganz hin) - es sollt eher so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon\exists n\exists f \forall x((0\leq x<1) \to (f(x^n)<\epsilon )) \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du dir estimmt überlegen wie du das richtig negierst. lg

13.04.2012, 14:04

Christian_P

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danke Dir für deinen Tipp. Ja, ich war mir auch nicht ganz sicher, ob ich den Satz auch richtig in logische Symbolik geschrieben habe.

Wenn ich ihn nun negiere würde ich jetzt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon \forall n \forall f \exists x ((0 \leq x <1)\rightarrow(f(x^n)\geq \epsilon)) \end{eqnarray*}$

In Worten:

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sodass es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq x <1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x^n)\geq \epsilon \end{eqnarray*}$

am Intervall $\begin{eqnarray*} 0 \leq x <1 \end{eqnarray*}$ muss ich hier doch nichts ändern? Oder?

Grüße und nochmals danke

13.04.2012, 20:14

weisbrot

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Zitat:

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , (sodass) es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq x <1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x^n)\geq \epsilon \end{eqnarray*}$

da soll das "sodass" eigendlich hin. und hier sagst du auch etwas richtig, was du in der formel darüber nicht richtig hast: $\begin{eqnarray*} \neg (\forall x(A(x)\to B(x))) = \exists x (A(x)\wedge \neg B(x)) \end{eqnarray*}$
du könntest hier (in deiner formel) ja auch x=5 nehmen und dann wäre die aussage ne tautologie.
meiner meinung nach könnten wir das ganze auch verkürzen - so wie wirs bei epsilon, n und f schon gemacht haben, und einfach $\begin{eqnarray*} x\in [0,1) \end{eqnarray*}$ schreiben. dabei sollte ich noch sagen dass du das eigendlich auch dazuschreiben solltest, ich wollte da nur etwas zeit sparen, also: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0\quad \exists n\in \mathbb N\quad \exists f \in Abb( \mathbb R)\quad \forall x\in [0,1): f(x^n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ (die doppelpunkte musst du nicht machen). lg

edit:
beachte, dass: $\begin{eqnarray*} \exists x \in X : A(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists x (x\in X \wedge A(x)) \end{eqnarray*}$ ; aber: $\begin{eqnarray*} \forall x \in X : A(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} \forall x (x\in X\to A(x)) \end{eqnarray*}$

18.04.2012, 17:04

Christian_P

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Was würdest du dazu sagen?

$\begin{eqnarray*} \neg[\forall \epsilon > 0 (\exists n \exists f (\forall x : 0 \leq x < 1 \rightarrow f(x^n)< \epsilon))]\Leftrightarrow [\exists \epsilon > 0 (\forall n \forall f (\exists x : 0 \leq x < 1 \rightarrow f(x^n)\geq \epsilon))] \end{eqnarray*}$

Grüße und nochmals Danke für deine Hilfe

18.04.2012, 21:51

weisbrot

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da hattest du doch schon vorgeschlagen und ich meinte hiermit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall x(A(x)\to B(x))) = \exists x (A(x)\wedge \neg B(x)) \end{eqnarray*}$

dass der letzte teil nicht ganz richtig ist (lies nochmal genau meinen vorigen post durch; und frag ggf. wenn was unklar ist) - wenn du den teil $\begin{eqnarray*} \forall x: (0\leq x < 1 \to f(x^n)<\epsilon) \end{eqnarray*}$ verneinst bekommst du $\begin{eqnarray*} \exists x: ( 0\leq x < 1 \wedge f(x^n)\geq \epsilon ) \end{eqnarray*}$

du solltest übrigends im ersten teil (nach $\begin{eqnarray*} \forall x: \end{eqnarray*}$ ) klammern setzen.

lg

20.04.2012, 16:36

Christian_P

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Zitat:

Original von weisbrot
... es sollt eher so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon\exists n\exists f \forall x((0\leq x<1) \to (f(x^n)<\epsilon )) \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du dir estimmt überlegen wie du das richtig negierst. lg

Hi Du, ich bin ein bisschen durcheinander und ich würde gern noch einmal zu dieser Stelle zurrückkehren.

Nach der mechanischen Regel der Negation wird doch $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.
Zusätzlich wird die Aussage $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ negiert, dann ist die Ganze Aussage negiert.

Dann hätte ich jetzt $\begin{eqnarray*} \exists\epsilon\forall n\forall f \exists x((0\leq x<1)\wedge ((f(x^n)\geq\epsilon)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neg((0\leq x<1) \to (f(x^n)<\epsilon )) \end{eqnarray*}$ ist doch eine Implikation, richtig? Also $\begin{eqnarray*} A\to B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist hier immer wahr, und $\begin{eqnarray*} A\to B \end{eqnarray*}$ ist genau dann falsch, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wahr ist und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ falsch.
Deswegen bin ich ein bisschen verwirrt.

Die richtige Negation ist so, oder? Also wie oben?
$\begin{eqnarray*} \neg((0\leq x<1) \to (f(x^n)<\epsilon ))= ((0\leq x<1)\wedge ((f(x^n)\geq\epsilon)) \end{eqnarray*}$

bis dann

20.04.2012, 16:54

weisbrot

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Zitat:

Die richtige Negation ist so, oder? Also wie oben?

ja!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \neg((0\leq x<1) \to (f(x^n)<\epsilon )) \end{eqnarray*}$ ist doch eine Implikation, richtig?

also jain; du hast hier die negation einer implikation, das ist erstmal keine implikation, du kannst sie aber zu einer umformen (wenn du unbedingt möchtest): $\begin{eqnarray*} \neg (a\to b) = a\wedge \neg b = b\to (b\wedge a) \end{eqnarray*}$ .
ich versteh aber leider nicht was du genau meinst mit: "a ist immer wahr" (a könnte wahr oder falsch sein) und warum du verwirrt bist. beschreib dein problem nochmal etwas genauer oder denk selbst nochmal drüber nach. lg

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