Summe mit Binominalkoeffizient

13.04.2012, 00:58

jugarius

Summe mit Binominalkoeffizient

Meine Frage:
Hi, ich verstehe hier einen Schritt nicht so ganz:
Wie komme ich von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{2^{k+1}} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
nach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sum\limits_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} 1^{n-1-k}*\frac{1}{2}^k \end{eqnarray*}$
?

Meine Ideen:
Das Ziel ist hier, auf die Formel im binomischen Lehrsatz zu kommen um die Summe zu berechnen. Der zweite Schritt sieht der Formel schon aehnlich aus und fuehrt zum Ergebnis, aber wie dieser Schritt ausgefuehrt wird ist mir gerade ein Raetsel.

Vielen Dank schonmal fuer jegliche Tips!

13.04.2012, 01:03

jugarius

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oops. das letzte LaTeX muesste natuerlich $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$ heissen und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}^k \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 01:41

Roper

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RE: Summe mit Binominalkoeffizient
Die Identität stimmt auch nicht. Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{0} \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{2^{k+1}} - \frac{1}{2}=0{\color{red}\ne}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot\sum_{k=0}^0\binom{0}{k}1^{0-k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 09:13

klarsoweit

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RE: Summe mit Binominalkoeffizient

Zitat:

Original von jugarius
Wie komme ich von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{2^{k+1}} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
nach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sum\limits_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} 1^{n-1-k}*\frac{1}{2}^k \end{eqnarray*}$
?

Anfreunden könnte ich mich damit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \frac{1}{2^{k+1}} - \frac{1}{2} = \frac 1 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} 1^{n-1-k} \cdot \frac{1}{2^k} - \frac{1}{2} = \frac 1 2 \cdot (1 + \frac 1 2)^{n-1} - \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 11:11

jugarius

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Keine Ahnung was da schief gelaufen ist, muss wohl ein Druckfehler sein. Vielen Dank jedenfalls fuer die Hilfe!

Mit welchem Satz/welcher Formel geschieht hier die Aufloesung der ersten Summe und das hinzukommen von $\begin{eqnarray*} 1^k \end{eqnarray*}$ im Zaehler der zweiten Summe?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} ( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{3}^k -1 -\frac{2}{3}) + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} -1 = \frac{1}{3}(\frac{1}{1-\frac{2}{3}} - \frac{5}{3}) + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1^k}{k!} -1 \end{eqnarray*}$ ?

Danke fuer Eure Zeit.

13.04.2012, 11:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von jugarius
Mit welchem Satz/welcher Formel geschieht hier die Aufloesung der ersten Summe

Stichwort: geometrische Reihe. Augenzwinkern

Zitat:

Original von jugarius
und das hinzukommen von $\begin{eqnarray*} 1^k \end{eqnarray*}$ im Zaehler der zweiten Summe?

Da denkst du mal selber drüber nach. Wink

13.04.2012, 11:32

jugarius

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Oh je... $\begin{eqnarray*} 1^{\infty}=1 \end{eqnarray*}$
Okay, das mit der geometrischen Reihe ist jetzt auch klar. Danke!

13.04.2012, 11:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von jugarius
Oh je... $\begin{eqnarray*} 1^{\infty}=1 \end{eqnarray*}$

Nun ja, das eher nicht, sondern $\begin{eqnarray*} 1^k = 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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