Bild und Kern einer Matrix

13.04.2012, 09:07

Mikrognom

Bild und Kern einer Matrix

Meine Frage:
Ich habe eine 3x3 Matrix A wie folgt gegeben: 1,1,5;-2,2,-2;3,-2,5
Ich soll den Kern von A und Bild von A berechnen.

Meine Ideen:
Nun habe ich mit dem Gaußverfahren den Ker(A) berechnet und habe als Ergebnis
Ker(A)= -3,-2,1
Das ist auch korekt nur mein Problem ist das Bild. Wie komme ich dort auf die Lösung?
Ich habe die Matrix transponiert komme aber nicht auf das richtige Ergebnis, dieses ist laut Lösungen:
Im(A)= 1,-2,3 und 1,2,-2

13.04.2012, 09:26

klarsoweit

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RE: Bild und Kern einer Matrix
Glaubst du, wir hätten hier eine Glaskugel, aus der wir ablesen könnten, was du gerechnet hast? Im Prinzip mußt du aus den Spaltenvektoren eine Basis extrahieren. Transponieren der Matrix und diese auf Zeilenstufenform bringen, ist also der richtige Ansatz.

Und bitte Latex verwenden: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ -2 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 09:45

Mikrognom

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Okay das mit der Latex wusste ich nicht bin neu hier.
Also hab die transponierte Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \\ 5 & -2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich dann mit dem Gauß rangehe komm ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & -5 \\ 0 & 8 & -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
weiter gekürzt komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1,25 \\ 0 & 0 & -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nur das ist ja eben nicht die richtige Lösung und wo mein Fehler ist weiß ich nicht.

Grüße

13.04.2012, 10:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mikrognom
Wenn ich dann mit dem Gauß rangehe komm ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & -5 \\ 0 & 8 & -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hier stimmt die 3. Zeile nicht.

13.04.2012, 10:03

Mikrognom

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Mir ist gerade noch eine Idee gekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ -2 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun die ersten 2 Splaten nehme
3 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erhalte ich die 3 Spalte. Kann ich somit diese beiden als Im(A) bezeichnen?

13.04.2012, 10:06

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Der andere Weg funktioniert auch, wenn man nur richtig rechnet. Augenzwinkern