reihenentwicklung arcustangens

13.04.2012, 11:31	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
reihenentwicklung arcustangens Meine Frage: Zeigen Sie die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)2^{2i+1}}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)3^{2i+1}} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Arkustangens Meine Ideen: wenn man sich die beiden summen ansieht und die reihenentwicklung vom arcustangens dann erkennt man folgendes: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)2^{2i+1}}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)3^{2i+1}}=\arctan\left(\frac 1 2\right)+\arctan\left(\frac 1 3\right) \end{eqnarray}$ weiß damit allerdings noch nichts anzufangen. wie könnte man denn weitermachen?
13.04.2012, 12:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = \arctan x \end{eqnarray}$ erfüllt die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} f(x) + f(y) = f \left( \frac{x+y}{1 - xy} \right) \, , \ \ \text{falls} \ \ xy < 1 \end{eqnarray}$ Das ist die Umkehrung des Tangensadditionstheorems.
14.04.2012, 11:34	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
cool danke. komme so auf arctan(1) und der ist genau pi/4

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