Vollständiger metrischer Raum - wie zeige ich das?

13.04.2012, 14:19

kathy7

Vollständiger metrischer Raum - wie zeige ich das?

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass

d_1(x,y) = |1/x - 1/y| vollständig ist auf X=(0,1] und d_2(x,y) = |x-y| nicht vollständig ist auf X.
Wie mache ich das?

Meine Ideen:
Um Vollständigkeit zu zeigen, müssen ja alle Cauchy-Folgen konvergieren.

D.h. für alle epsilon>0 existiert ein N_epsilon aus den natürlichen Zahlen, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_m}| < epsilon \end{eqnarray*}$
für alle m,n größer gleich N_epsilon.
Und diese CF muss in (0,1] konvergieren.
Wenn ich nun x_n = n nehme, dann divergiert die Folge, aber es wäre bzgl d_1 trotzdem eine CF, oder liege ich da falsch?

13.04.2012, 14:36

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständiger metrischer Raum - wie zeige ich das?
Die Metrik $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ ist nicht vollständig auf $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ , dort hast du mit $\begin{eqnarray*} x_n = n \end{eqnarray*}$ eine nicht konvergente Cauchyfolge. Aber dort betrachtest du es ja nicht. Du betrachtest $\begin{eqnarray*} X = (0,1] \end{eqnarray*}$ .
Als Idee würd ich vorschlagen, du nutzt aus, dass Cauchyfolgen beschränkt sind und 0 kein Häufungspunkt sein kann. Dann kannst du ausnutzen, dass abgeschlossen Teilmengen eines vollständigen Raums wieder vollständig ist

13.04.2012, 14:41

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständiger metrischer Raum - wie zeige ich das?
du kannst z.b. sagen, dass wenn a_n cauchyfolge bez. d_1 ist, dann ist 1/a_n cauchyfolge bez. der üblichen metrik, und dann mit der vollständigkeit von IR die vollst. von X bez d_1 folgern.

Zitat:

Wenn ich nun x_n = n nehme, dann divergiert die Folge, aber es wäre bzgl d_1 trotzdem eine CF, oder liege ich da falsch?

n ist zwar bez. d_2 cauchyfolge, aber nicht in X, denn nicht alle ihre glieder kommen aus X.
betrachte für den 2. fall z.b. 1/n. lg

13.04.2012, 15:08

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich bei d_2 für x_n = 1/n nehme, dann ist das eine CF, konvergiert aber gegen 0 und ist somit nicht in X. Stimmt soweit?

wenn ich aber bei d_1 eine Folge nehme, die beschränkt ist in X, also z.B. 1-1/n, dann komm ich ja auf genau dasselbe wie bei d_2.. und dann würde wieder rauskommen, dass es vollständig ist.

13.04.2012, 15:23

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wenn ich bei d_2 für x_n = 1/n nehme, dann ist das eine CF, konvergiert aber gegen 0 und ist somit nicht in X. Stimmt soweit?

Wenn das stimmen würde, wäre der Raum mit der Metrik nicht vollständig. Rechne noch einmal nach, ob es wirklich eine Cauchyfolge ist. Finde mal ein n, so dass der Abstand für alle weiteren Glieder kleiner als 1/2 ist.

Zitat:

wenn ich aber bei d_1 eine Folge nehme, die beschränkt ist in X, also z.B. 1-1/n, dann komm ich ja auf genau dasselbe wie bei d_2.. und dann würde wieder rauskommen, dass es vollständig ist.

Diesmal hast du eine Cauchyfolge genommen, aber eine etwas ungünstige, denn diese konvergiert.

13.04.2012, 15:25

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

d_2 soll ja auch nicht vollständig sein

13.04.2012, 15:28

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, tut mir leid - ich hab d1 und d2 vertauscht.

Also die Begründung zu d_2 stimmt.

Zitat:

wenn ich aber bei d_1 eine Folge nehme, die beschränkt ist in X, also z.B. 1-1/n, dann komm ich ja auf genau dasselbe wie bei d_2.. und dann würde wieder rauskommen, dass es vollständig ist.

Könntest du das hier näher ausführen?

13.04.2012, 15:30

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

@kathy7: wenn du zeigst dass EINE cauchyfolge konvergiert heißt das ja noch lange nicht, dass der raum auch vollständig ist. du musst es für beliebige cauchyfolgen zeigen - siehe mein tipp im 1. post. lg

13.04.2012, 15:43

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn a_n eine Cauchyfolge bzgl. d_1 ist, dann folgt daraus, dass 1/a_n eine CF bzgl. der üblichen Metrik ist. Ich nehme an, du meinst damit d(x,y) = |x-y|. R ist für diese Metrik vollständig und daraus folgt, dass X bzgl. d_1 vollständig ist?

ich bin verwirrt...

13.04.2012, 15:49

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

da überspringst du aber etwas. wenn 1/a_n cauchyfolge in IR ist (bez. d_2), und IR ist vollständig (bez. d_2), dann heißt das 1/a_n konvergiert in IR, also 1/a_n -> a für irgendein a in IR. aber was weist du denn noch über 1/a_n? a_n sollte ja (cauchy-)folge in X sein, also...
lg

13.04.2012, 15:54

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

a_n muss beschränkt sein, also in X konvergieren

13.04.2012, 16:04

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine: $\begin{eqnarray*} a_n \in X = (0,1] \Rightarrow \frac{1}{a_n} \in ... \Rightarrow a \in ... \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$
lg

13.04.2012, 16:23

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_n \in X = (0,1] \Rightarrow \frac{1}{a_n} \in R^+\backslash\{(0,1]\} \Rightarrow a \in R^+\backslash\{(0,1]\}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{wenn also}\ \frac{1}{a_n}\ \rightarrow a \text{dann konvergiert}\ a_n \rightarrow \frac{1}{a}\ \text{und das ist aus}\ (0,1]<br /> \end{eqnarray*}$ ?

13.04.2012, 16:37

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

also es sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ (IR+\{(0,1]} ergibt nicht viel sinn, wenn dann IR+\(0,1], was aber auch nicht richtig wäre, da ja 1 auch erlaubt ist).
eben das gilt dann auch für den grenzwert a. dann ist die folgerung, dass a_n gegen 1/a konvergiert richtig, und das ist dann aus (0,1]=X. also cauchyfolge konvergiert in X, somit ist die behauptung dass das ding vollständig ist bewiesen. lg

13.04.2012, 16:39

kathy7

Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE, DANKE!!
Sorry, das ich so lange gebraucht hab!! :-)

Neue Frage »

Antworten »

Vollständiger metrischer Raum - wie zeige ich das?

Verwandte Themen