Voll. Induktion einer Ungleichung

13.04.2012, 15:59

induktionsgnom

Voll. Induktion einer Ungleichung

Hoi,

Ich soll diese Ungleichung Beweisen:

$\begin{eqnarray*} n^2 - 2n -1 > 0 \end{eqnarray*}$ für n größer gleich 3

Also IA:

$\begin{eqnarray*} 3^2 - 2*(3) -1 > 0 \end{eqnarray*}$ Stimmt !

Dann:
IB:

Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 - 2(n+1)-1 > 0 \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} n^2 +2n +1-2n-2-1 > 0 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} n^2 -2 > 0 \end{eqnarray*}$

Und was jetzt?? Wie geht man denn allgemein vor bei Induktion mit Ungleichungen?? Muss ich den letzten Term dann auf die IB bringen?

13.04.2012, 16:08

Integralos

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Du kannst mit folgendem Ansatz weiter argumentieren.

Wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} n^2-2>0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n^2-2n-1+2n-1>0 \end{eqnarray*}$

dann kannt du eine neue Induktion starten für

$\begin{eqnarray*} 2n - 1 >0 \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 16:08

Helferlein

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Das Schema der vollständigen Induktion ist immer dasselbe:

1) Zeige dass die Aussage für ein gewähltes n (Hier n=0 oder n=1, je nach Definition der natürlichen Zahlen) gilt
2) Nimm an, dass die Aussage für ein bestimmtes n bewiesen ist
3) Zeige unter Ausnutzung von 2) dass die Aussage auch für n+1 gilt.

Punkt 1 hast Du erledigt, Punkt 2) anscheinend als selbstverständlich angenommen. Erwähnen sollte man ihn trotzdem noch einmal.
Punkt 3 läuft bei Dir in die flasche Richtung. Es ist unzweckmässig zusammenzufassen, da Du dann den Term für n nicht mehr vorliegen hast.
Versuche stattdessen den Term $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-2(n+1)-1 \end{eqnarray*}$ so umzuschreiben oder zu ergänzen, dass sich der Term $\begin{eqnarray*} n^2-2n-1 \end{eqnarray*}$ darin wiederfindet.

13.04.2012, 19:54

HAL 9000

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Kleiner Einwurf ... bei Bedarf bitte ignorieren.
Ob wohl auch jemand die Aufgabe stellen würde

Zitat:

Beweisen Sie

$\begin{eqnarray*} m^2 > 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\geq 2 \end{eqnarray*}$

durch Vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist es verknüpft über die Substitution $\begin{eqnarray*} m=n-1 \end{eqnarray*}$ dieselbe Problemstellung wie oben. Augenzwinkern

14.04.2012, 01:49

induktionsgnom

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RE: Kleiner Einwurf ... bei Bedarf bitte ignorieren.

Zitat:

Original von HAL 9000
Ob wohl auch jemand die Aufgabe stellen würde

Ich glaub nicht, von daher Augenzwinkern

Nee quatsch.
Danke für die Antworten Freude

ich werd mich durch ein paar andere Aufgaben noch durchwurchteln und dann hier schreiben. Dauert nur etwas weil ich mich immer noch mit hunterttrillionen anderen Mathesache noch beschäftige.

Gruß Freude

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