Klausuraufgabe in Analysis 3

13.04.2012, 17:34

bububärchen

Klausuraufgabe in Analysis 3

Meine Frage:
Es bezeichne $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^{d} \end{eqnarray*}$ die Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{d} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} := \left\{ M \times \mathbb{R} : M \in \mathcal{B}^{1} \right\} \end{eqnarray*}$ .

(a) Zeige: $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}^{2} \end{eqnarray*}$ .
(b) Welche Werte nimmt das Maß $\begin{eqnarray*} \mu := \lambda ^{2} |_{\mathcal{A}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ an ?
(c) Ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - endlich ?

Meine Ideen:
leider helfen meine Unterlagen und Hinweise in den Tutorien nicht weiter

13.04.2012, 18:04

bububär

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RE: Klausuraufgabe in Analysis 3
kann mir bitte jemand weiterhelfen, komme einfach nicht weiter mit dieser Frage. Es gibt auch keine Musterlösung dazu, sodass ich nicht mal vergleichen kann, ob ich überhaupt richtig liege.
Ich kann mir diese kursive Menge A gar nicht vorstellen.

13.04.2012, 18:38

soase

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Die a) ist schlichtes nachrechnen von Sigma-Algebra Eigenschaften unter Verwendung der Tatsache, dass die Borel-sigma-Algebra eine sigma-Algebra ist.
Bei der b) hilft die Eigenschaft das Gebäck-Maßes $\begin{eqnarray*} \lambda ^2 (A\times B)=\lambda^1 (A) \cdot \lambda^1 (B) \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathcal{B} ^1 \end{eqnarray*}$ und mit der Kovention $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty =0 \end{eqnarray*}$ ).
Die b) beantwortet die c) wenn man bedenkt dass abzählbäre Vereinigungen von Nullmengen wieder Nullmengen sind.

Ich bin auch der Meinung, dass man sich nicht alles vorstellen können braucht. Der Formalismus nimmt einem doch die Arbeit ab. Ich kann mir die Borel-Sigma-Algebra nicht vorstellen (genausowenig wie fast alle reellen Zahlen, die transzendenten) muss ich auch nicht: Ich kenn die Definition.

13.04.2012, 19:35

bububär

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Hallo soase,
vielen Dank für die schnelle Antwort.

Eines ist mir noch unklar:
Warum kann ich annehmen, dass M eine Nullmenge ist? Ich habe doch keine Informationen darüber, ob M abzählbar ist, ich weis doch nur, dass Borel-messbar.
Oder verwechsel ich da was?

13.04.2012, 20:20

soase

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Wo habe ich behauptet M wäre eine Nullmenge? In meinem ganzen Post kam kein einziges M vor.
Was soll M überhaupt sein?

13.04.2012, 20:42

bububär

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Nun, bei der Aufgabenstellung b) repräsentiert M eine beliebige Borel-messbare Menge, somit müsste ich doch unterscheiden:

1. Fall: M abzählbar, dann ist das Maß 0 -> nicht sigma-endlich
2. Fall: M überabzählbar, dann ist das Maß unendlich ->nicht sigma endlich

13.04.2012, 20:52

pitetschuk

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was bububär meint ist:

meine Elemente aus der Menge kursiv A haben entweder Maß 0 oder unendlich.
Im Falle, dass meine Elemente Maß 0 haben, bekomme ich aber keine Folge aus diesen Elemente, die ganze Omega abdecken (also R^2 abdecken).
Schon deshalb nicht weil die Vereinigung von einer Folge von Elementen mit Maß 0 wieder als Ergebnis Maß 0 hat. Aber Omega hat Maß unendlich.

Im zweiten Fall, habe ich Elemente die wohl eine Folge bilden können, die ganz Omega abdecken, aber deren Maß hätte jeweils unendlich.

in beiden Fällen hauts nicht hin. Also finde ich keine Folge deren Elemente Maß kleiner unendlich haben UND ganz Omega abdecken.

=> mü ist nicht sigma endlich

passt jetzt oder ?

13.04.2012, 20:54

soase

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Du hast offenbar keine Ahnung was sigma-endlich heißt.
Ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf einer Menge X ist sigma-endlich wenn es Teilmengen $\begin{eqnarray*} X_i\subseteq X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu (X_i) < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{i\in \mathbb N} X_i \end{eqnarray*}$ .
Außerdem gibt es überabzählbare Nullmengen, wie beispielsweise die cantor-menge.
Und das Maß wovon nimmst du in deinen Fällen?

13.04.2012, 20:58

soase

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@pitetschuk:
Schön, dass du weißt was bububär meint. Geschrieben hat er das aber nicht : siehe z.B.

Zitat:

1. Fall: M abzählbar, dann ist das Maß 0 -> nicht sigma-endlich

Aber ums kurz zu machen: du hast recht mit deiner Lösung von b) und c).

13.04.2012, 21:02

pitetschuk

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wobei noch hinzuzufügen sei, dass es wir auch eine Folge aus Elementen bilden deren Maß sowohl 0 als auch unendlich haben kann
Hier wäre aber die sigma Endlichkeit wieder verletzt, weil ebene in der Folge Elemente existieren deren Maß unendlich wäre.

soase hast du eben mich gemeint oder bububär ?

13.04.2012, 21:07

soase

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Sofern nicht anders vermerkt spreche ich den Threadersteller an.

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