Nullstellen/Extremstellen

13.04.2012, 20:16

djguendalf

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Nullstellen/Extremstellen

Servus.

Ich muss die Nullstellen und Extremstellen von $\begin{eqnarray*} sin(x)\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,3pi] berechnen. Nullstelle ist klar, einfach die vom sin(x).

Aber wie berechne ich die Extremstellen im Intervall? Die 1. Ableitung hilft mir da iwie nicht weiter.

Eine weitere Funktion ist $\begin{eqnarray*} sin(a\cdot e^{-x^{2} } ) \end{eqnarray*}$

Man soll die allgemeinen Ausdrücke für Nullstellen und Extremstellen angeben.
NS:
$\begin{eqnarray*} a\cdot e^{-x^{2} } = \pi \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = - ln (\frac{\pi \cdot k }{a} ) \end{eqnarray*}$

Also doppelte Nullstellen. Stimmt das so?

Extrenwerte wären dann analog, eben mit den Nullstellen vom cosx, die ja Extremstellen des sinx sind, $\begin{eqnarray*} \frac{(2k+1)\pi }{2} \end{eqnarray*}$ statt pi*k.

Dazu die Fragen: Warum hängt die Anzahl der NS von a ab? Wie muss a gewählt werden damit die Fkt genau eine, zwei, drei NS hat (Dabei sollen nur Nullstellen mit tatsächlichem unterschiedl. x gezählt werden, keine doppelten Nullstellen)?

Mich irritiert allein schon der Ausdruck für die Nullstellen mit dem x²=-ln ... würde man für a einen positiven wert nehmen würde man ja minus unter der wurzel haben.

13.04.2012, 20:32

The_Tower

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Hi,

wieso hilft dir die 1. Ableitung nicht weiter? Mit der kann man doch dann die Extrema bestimmen...

13.04.2012, 22:28

djguendalf

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Die Ableitung wäre ja

$\begin{eqnarray*} - sin(x) \cdot e^{-x} + cos(x)\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das bekomm ich nicht nach 0 aufgelöst.

13.04.2012, 22:33

Mulder

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Klammert man die e-Funktion aus, bleibt übrig

$\begin{eqnarray*} \cos(x)-\sin(x) = 0 \end{eqnarray*}$

was gleichbedeutend ist mit

$\begin{eqnarray*} \tan(x)=1 \end{eqnarray*}$

Da kann man doch was mit machen...

14.04.2012, 10:10

Mystic

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RE: Nullstellen/Extremstellen

Zitat:

Original von djguendalf
$\begin{eqnarray*} a\cdot e^{-x^{2} } = \pi \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = - ln (\frac{\pi \cdot k }{a} ) \end{eqnarray*}$

Also doppelte Nullstellen. Stimmt das so?

Warum "doppelte Nullstellen"? verwirrt

verwirrt

Bring das mal auf die Form

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln \frac a{k \pi } \end{eqnarray*}$

und überleg dir dann, unter welcher Bedingung das lösbar ist und was dann die Lösungen sind...

14.04.2012, 13:55

djguendalf

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Zitat:

Original von Mulder
Klammert man die e-Funktion aus, bleibt übrig

$\begin{eqnarray*} \cos(x)-\sin(x) = 0 \end{eqnarray*}$

was gleichbedeutend ist mit

$\begin{eqnarray*} \tan(x)=1 \end{eqnarray*}$

Da kann man doch was mit machen...

Gut also dann wäre eine Extremstelle x=arctan(1), aber das ist ja nicht die einzige Extremstelle. Die Wiederholen sich ja periodisch. Wie bestimme ich die anderen?
arctan(1) + (2k+1)*pi / 2 ?

Handelt es sich in dem Fall x² = ... nicht um doppelte Nullstellen? Man bekommt ja zwei Lösungen raus +/- .

Weiß ehrlich gesagt nicht wie man auf die Form kommt verwirrt

verwirrt

Was die Lösungen angeht: lösbar wärs, wenn der Ausdruck ln( a / k*pi ) positiv und ungleich Null ist. Das ist ja der Fall wenn a/k*pi größer als 1 ist.

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14.04.2012, 14:06

Mulder

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Der Tangens ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch (schau sowas doch eben kurz nach, wenn du dir nicht sicher bist, du sitzt doch grad im Internet). Das heißt $\begin{eqnarray*} \tan(x) = \tan(x + k \pi) \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung ist $\begin{eqnarray*} x=\arctan(1) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Weitere Lösungen sind also

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} + k \pi \quad, \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Du musst halt nur schauen, welche in deinem Intervall liegen. Und ob es tatsächlich Extrema sind.

14.04.2012, 14:56

djguendalf

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Zitat:

Original von Mulder
Der Tangens ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch (schau sowas doch eben kurz nach, wenn du dir nicht sicher bist, du sitzt doch grad im Internet). Das heißt $\begin{eqnarray*} \tan(x) = \tan(x + k \pi) \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung ist $\begin{eqnarray*} x=\arctan(1) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Weitere Lösungen sind also

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} + k \pi \quad, \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Du musst halt nur schauen, welche in deinem Intervall liegen. Und ob es tatsächlich Extrema sind.

ok. also für k=0,1,2. Sind doch alles Extrema oder? Meinst du, dass es ja auch doppelte Nullstellen sein könnten? Dort ist die Steigung ja auch Null.

15.04.2012, 17:25

djguendalf

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Kann jemand noch was zum zweiten Teil meiner Frage sagen?

15.04.2012, 20:38

Mulder

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RE: Nullstellen/Extremstellen
Auf

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln \left ( \frac a{k \pi } \right ) \end{eqnarray*}$

kommt man mit einem Logarithmengesetz. Das ist nur ein Rechenschritt:

$\begin{eqnarray*} b\ln(c) = \ln(c^b) \end{eqnarray*}$

Nochmal nachschlagen, wenn diese Logarithmengesetze nicht geläufig sind, die brauchst du oft.

So, jetzt schau dir mal den natürlichen Logarithmus ln(x) an: Der wird negativ für 0<x<1, hat eine Nullstelle bei x=1 und er wird positiv für x>1.

Für unseren Fall

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln \left ( \frac a{k \pi } \right ) \end{eqnarray*}$

bedeutet das doch, dass

$\begin{eqnarray*} \frac a{k \pi } \geq 1 \end{eqnarray*}$

sein muss. Nun wählen wir a fest. Dann kann man sich leicht überlegen, für welche k der Bruch größer 1 bleibt. Probier für a ruhig ein paar Beispielzahlen, um es dir klar zu machen. Für jedes k, für das der Bruch größer 1 bleibt, erhälst du eine Nullstelle (bzw. gleich zwei auf einmal, wegen der Achsensymmetrie).

Unterschieden werden muss natürlich, ob a positiv oder negativ ist, entsprechend kannst du dann auch nur die positiven oder negativen k betrachten. Denn negativ darf dieser Bruch ja nicht sein, sonst ist der ln nicht definiert.

16.04.2012, 13:52

djguendalf

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Also für a=1 dann keine NS, für a=pi eine NS bei x=0

für a=2*pi eine NS bei x=0 (bei k=2) und eine bei + und eine bei - wurzel{ln2} (wenn ich k=1 wähle)? Zwei NS hab ich weil es ja durch das x² jeweils zwei Lösungen (+ und minus wurzel(ln2) )gibt, oder?

Und in der Aufgabenstellung heißt es man soll beim Zählen der NS doppelte Nullstellen als nur eine Nullstelle betrachten? Soll ich dann bei a=2*pi, wo es ja eig 3 NS gibt, nur eine der beiden wurzel(ln2) als NS zählen? Dann hätte ich für a=2*pi zwei Nullstellen.

16.04.2012, 16:22

Mulder

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RE: Nullstellen/Extremstellen
"Doppelte" Nullstelle bedeutet, dass der Graph die x-Achse nicht nur schneidet, sondern sogar berührt. Einen solchen Berührpunkt erhält man genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gerade ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist. Denn dann kürzen sich die $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ weg und es verbleibt (beispielsweise für $\begin{eqnarray*} a=n \pi \end{eqnarray*}$ ) :

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln \left ( \frac{n }{k} \right ) \end{eqnarray*}$

Setzt man beispielsweise $\begin{eqnarray*} a= 2 \pi \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln \left ( \frac{2 }{k} \right ) \end{eqnarray*}$

So erhält man insgesamt drei Nullstellen: Einmal die beiden Nullstellen für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_1 = \ln(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=- \ln(2) \end{eqnarray*}$ . Die dritte Nullstelle ist dann für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_3 = \ln(1)=0 \end{eqnarray*}$ , also im Koordinatenursprung. Das ist jetzt allerdings eine doppelte Nullstelle, denn theoretisch hat man ja auch noch die "vierte" Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_4 = - \ln(1) = -0 \end{eqnarray*}$ . Sieht man nur eben nicht, denn $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ sind die die selben Nullstellen, denn $\begin{eqnarray*} 0=-0 \end{eqnarray*}$ . Das ist in der Aufgabenstellung gemeint, dass du das nur als eine einzige Nullstelle wertest.

Die Fälle "eine Nullstelle" und "drei Nullstellen" hast du damit schon erledigt.

Für den Fall mit genau zwei Nullstellen musst du jetzt zusehen, dass du diese Nullstelle im Koordinatenursprung verhinderst. Denn wenn die da ist, hast du immer insgesamt eine ungerade Anzahl von Nullstellen wegen der Achsensymmetrie.

16.04.2012, 17:01

djguendalf

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Alles klar.

Wie sieht denn ein mathematisches "verhindern" aus? verwirrt

verwirrt

16.04.2012, 17:02

Mulder

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Zitat:

Original von djguendalf
Wie sieht denn ein mathematisches "verhindern" aus?

Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ passend wählen.

16.04.2012, 17:17

djguendalf

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pi² / 2 ?

16.04.2012, 17:23

Mulder

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Du arbeitest wohl gerne mit pi, scheint mir...

Das passt aber durchaus. Alternativ hätte man auch einfach z.B. a=4 nehmen können. pi²/2 find ich grad überhaupt nicht naheliegend. Aber wie gesagt: Das stimmt auch.

16.04.2012, 17:41

djguendalf

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keine ahnung warum mir grade das in den sinn kam Augenzwinkern

Augenzwinkern

das wärs dann. wieder mal vielen dank Freude

Freude

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