Konvergenz uneigentlicher Integrale

13.04.2012, 20:33

KnowingLizard

Konvergenz uneigentlicher Integrale

Im Rahmen einiger Aufgaben musste / wollte ich einige uneigentliche Integrale auf Konvergenz überprüfen (d.h. Berechnung nicht unbedingt erforderlich), bei den meisten hatte ich auch keine Probleme, da hat man einfach die Stammfunktion gebildet / mir einer variablen Grenze integriert und dann eben für diese variable Grenze wie üblich eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt (d.h. wie zu Schulzeiten im Grunde).

Bei zwei, drei anderen Aufgaben bin ich aber auf das Problem gestoßen, dass ich mir recht sicher bin, dass mit dem Vorlesungsstoff die Stammfunktionen nicht zu bilden sind, d.h. man das Integral - so vermute ich - womöglich irgendwie abschätzen muss um dann das abgeschätze Integral zu berechnen und daran den Grenzwert zu betrachten.
Hab dann auch einiges probiert, aber keine tollen Abschätzungen gefunden...

Wäre euch deshalb super dankbar, wenn mir jemand zumindest einen Ansatz / eine Abschätzung / einen möglichen Weg zu den beiden folgenden uneigentlichen Integralen geben könnte, dann könnte ich mich mal weiter dran versuchen und ggfs. nochmal rückfragen. Also, um die folgenden beiden geht es:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{|sin(x)|}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_0^{1/ \Pi} \! sin(\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 21:21

Mulder

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RE: Konvergenz uneigentlicher Integrale
Eine elementare Stammfunktion wirst du nicht finden, da liegt hier gerade der Witz. In der Tat müssen also Abschätzungen herhalten. Du kannst du z.B. gegen die harmonische Reihe abschätzen.

Man kann nun das Integral auch darstellen als eine Summe von unendlich vielen Integralen, wobei jedes einzelne Integral einen von diesen "Hügeln" beschreibt. Die Nullstellen liegen bei $\begin{eqnarray*} k \pi \end{eqnarray*}$ und entsprechend teilen wir das auch auf.

Zunächst mal schneiden wir das Integral von 1 bis pi raus. Das ist auf jeden Fall nur endlich groß (z.B. eben passend abschätzen) und hat auf Konvergenz oder Divergenz keinen Einfluss. Es bleibt dann:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Das ist nun aber dasselbe wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \int\limits_{n \pi}^{(n+1)\ \pi} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \right ) \end{eqnarray*}$

Es bleibt nun noch, die einzelnen Integrale abzuschätzen. Versuch's mal. Ziel muss es sein, den Faktor 1/x dabei irgendwie zu beseitigen, damit man den sin(x) dann integrieren kann.

Edit: @HAL: Weil du jetzt "noch viel einfacher" schreibst: Geht das erste auch "elementarer" als mit meinem Weg? Mir ist grad nix anderes eingefallen. smile

13.04.2012, 21:22

HAL 9000

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Das zweite Integral ist noch viel einfacher: Der Integrand ist beschränkt und mit Ausnahme des linken Randpunktes stetig, das Integrationsintervall endlich ...

13.04.2012, 21:36

KnowingLizard

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Obiges von Mulder (danke dafür) werde ich mir wohl erst morgen zu Gemüte führen, werde dann darauf nochmal zurückkommen.

Zitat:

Original von HAL 9000
Das zweite Integral ist noch viel einfacher: Der Integrand ist beschränkt und mit Ausnahme des linken Randpunktes stetig, das Integrationsintervall endlich ...

Naja, klar ist ja, dass das Integral dann auf keinen Fall divergent (d.h. unendlich groß oder so) ist, weil wie angemerkt der Integrand endlich ist, ein endliches Integrationsintervall vorliegt und die Funktion nur in einem Randpunkt nicht stetig ist.

Mein Problem in der Überlegung ist da nur halt, dass der Grenzwert gegen die Null nicht existiert, d.h. wie kann ich dann formal argumentieren, dass das Integral nachher wirklich gegen einen bestimmten Wert konvergiert - und nicht etwa um einen bestimmten Wert schwankt ohne sich dem wirklich anzunähern oder so etwas? Auch, wenn anschaulich klar ist, dass das Integral nachher endlich ist.

(ich sollte noch anmerken, dass die uneigentlichen Integrale in meiner Vorlesung nur in einer Randbemerkung behandelt wurden, d.h. mein Wissen, auch über zugehörige Sätze, hält sich da leider in Grenzen...)

13.04.2012, 21:39

HAL 9000

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@Mulder

Ich würde es genauso machen wie du. Zur Abschätzung von

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

fallen mir allenfalls mehrere Wege ein. Ist aber egal, da einer genügt.

Zitat:

Original von KnowingLizard
Mein Problem in der Überlegung ist da nur halt, dass der Grenzwert gegen die Null nicht existiert, d.h. wie kann ich dann formal argumentieren, dass das Integral nachher wirklich gegen einen bestimmten Wert konvergiert - und nicht etwa um einen bestimmten Wert schwankt ohne sich dem wirklich anzunähern oder so etwas?

Dann betrachte doch erstmal

$\begin{eqnarray*} \int_{\varepsilon}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left( \frac{1}{x} \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

und anschließend $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ . Kann da einer der von dir beschriebenen Phänomene auftauchen angesichts des beschränkten Integranden?

EDIT: Übrigens, muss man hier gar nicht das uneigentliche Integral bemühen - das Integral existiert bereits als normales Riemannintegral, egal wie man den Integrandenwert bei x=0 festlegt, sofern es nur reell ist.

14.04.2012, 10:31

KnowingLizard

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@Mulder: Habe mich jetzt mal damit befasst, danke für den Tipp, hat mir eventuell weitergeholfen, hier mein Lösungsversuch, wäre super, wenn du den durchschauen könntest:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \int\limits_{n \pi}^{(n+1)\ \pi} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{(n+1)*\pi} \, \dd x \right) \end{eqnarray*}$ (nun mit Periodizität von |sin(x)|: )
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{(n+1)*\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin(x) \, \dd x \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{2}{(n+1)*\pi} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{\pi} \sum_{n=2}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} \right) = \infty \end{eqnarray*}$

Somit ist das Integral divergent.

@HAL 9000: Naja, wir haben in der Vorlesung Integration legidlich auf Funktionen ohne Unstetigkeitsstellen zweiter Art bezogen, d.h. lediglich auf Funktionen, bei denen für jedes x im Intervall die einseitigen Grenzwerte f(x+-) existieren bzw. bei Randstellen eben dann nur f(x+) bzw. f(x-), auch Riemannsche Summen sind bei uns nur für solche Funktionen definiert, d.h. aus meiner Vorlesung kann ich nicht schließen, dass das Integral sowieso als normales Riemannintegral existiert, so tief sind wir in die Integrationsmaterie gar nicht eingedrungen.

Zitat:

Anschaulich ist mir das klar, aber mir fehlt da irgendwie die formale Begründung. Mir fehlt irgendwie das Werkzeug, um das Integral einer solchen Funktion zu erfassen...

14.04.2012, 10:33

Mulder

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Zitat:

Original von KnowingLizard
@Mulder: Habe mich jetzt mal damit befasst, danke für den Tipp, hat mir eventuell weitergeholfen, hier mein Lösungsversuch, wäre super, wenn du den durchschauen könntest:

[...]

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{2}{(n+1)*\pi} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \infty \end{eqnarray*}$

Somit ist das Integral divergent.

Genau so war es gedacht. Freude

Edit: Aber einen Einwand noch: Mittendrin wechselst du bei den Integralgrenzen auf einmal auf "pi bis unendlich" - Tippfehler?

14.04.2012, 11:24

KnowingLizard

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Genau so war es gedacht. Freude

Edit: Aber einen Einwand noch: Mittendrin wechselst du bei den Integralgrenzen auf einmal auf "pi bis unendlich" - Tippfehler?

Ähm ja, Copy-And-Paste Fehler, hatte die falsche vorherige Zeile kopiert und modifiziert [zu anstrengend, das immer neu zu tippen.... xD] (die der fehlerhaften Zeile nachfolgende Zeile war aber wieder richtig, oder?) Augenzwinkern

Der Vollständigkeit halber für spätere Leser nochmal die korrekte Version:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \int\limits_{n \pi}^{(n+1)\ \pi} \frac{|\sin(x)|}{x} \, \dd x \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \int\limits_{n \pi}^{(n+1)\ \pi} \frac{|\sin(x)|}{(n+1)*\pi} \, \dd x \right) \end{eqnarray*}$ (nun mit Periodizität von |sin(x)|: )
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{(n+1)*\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin(x) \, \dd x \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{2}{(n+1)*\pi} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{\pi} \sum_{n=2}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} \right) = \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt besteht nur noch mein Problem mit dem zweiten Integral, mal sehen, ob HAL 9000 mir nochmal helfen kann smile

15.04.2012, 09:35

KnowingLizard

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Habe mich heute morgen nochmal ans zweite Integral drangesetzt, wäre super, wenn jemand über meinen (mechanischen und daher sicher nicht ideal kurzen) Lösungsweg drüberschauen könnte:

$\begin{eqnarray*} \int_a^{1/ \pi} \! sin(\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray*}$ (nun: partielle Integration, sin ableiten)
$\begin{eqnarray*} = x*\sin(\frac{1}{x})\left|^{1/\pi}_{a}\right. + \int_a^{1/ \pi} \! \frac{1}{x}*cos(\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray*}$ (nun: Substitution, $\begin{eqnarray*} t := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} = x*\sin(\frac{1}{x})\left|^{1/\pi}_{a}\right. - \int_{1/a}^{\pi} \! \frac{1}{t}*cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$ (nun: partielle Integration, 1/t ableiten)
$\begin{eqnarray*} = x*\sin(\frac{1}{x})\left|^{1/\pi}_{a}\right. - \frac{1}{t}*\sin(t)\left|^{\pi}_{1/a}\right. - \int_{1/a}^{\pi} \! \frac{1}{t^2}*sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{\pi}^{1/a} \! \frac{1}{t^2}*sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$
Damit:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{1/ \pi} \! sin(\frac{1}{x}) \, dx = \lim_{a \to 0+} \int_{\pi}^{1/a} \! \frac{1}{t^2}*sin(t) \, dt \leq \lim_{a \to 0+} \int_{\pi}^{1/a} \! \frac{1}{t^2} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{a \to 0+} -\frac{1}{u}\left|^{1/a}_{\pi}\right. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

---> Integral ist konvergent

15.04.2012, 09:45

Valdas Ivanauskas

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Du machst es Dir unnötig schwer.
Der Integrand ist doch beschränkt.

Es ist also

$\begin{eqnarray*} -1\leq\sin\left(\frac 1x\right)\leq 1\text{ für alle }x\in\mathbb R\setminus\{0\}. \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 10:10

HAL 9000

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Hatte ich oben schon erwähnt, aber KnowingLizard hat immer noch Zweifel. Wahrscheinlich muss man jetzt mal das Lebesgue-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit anbringen:

Zitat:

Eine auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ beschränkte, und fast überall stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf diesem Intervall Riemann-integrierbar.

"Fast überall" ist etwas schwierig zu erklären, falls man noch keine Maßtheorie kennt. Auf alle Fälle beinhaltet es den Fall höchstens abzählbar vieler Unstetigkeitsstellen.

15.04.2012, 11:07

KnowingLizard

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Vielen Dank für eure Tipps smile

"Zweifel" in dem Sinne habe ich nicht wirklich, wir haben halt obiges Kriterium nicht in der Vorlesung gehabt, vielleicht wird's nach der Bearbeitung der Aufgabe noch nachgereicht, nach dem Motto "mit dem Satz hier hätten Sie die Aufgabe sofort lösen können" oder so. Von der Logik her ist mir das Argument natürlich klar. Auf jeden Fall hab ich das jetzt mal dank euch im Hinterkopf Freude

Aber ist rein formal mein obiger umständlicher Lösungsweg denn richtig?

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