Arbeitsintegral Definition

13.04.2012, 21:42

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Arbeitsintegral Definition

Meine Frage:
Hallo,
ich hab mal eine Frage bezüglich der Definition des Arbeitsintegrals.
$\begin{eqnarray*} W= \int_a^b \! \vec{F}(\vec{r} ) \, d\vec{r} \end{eqnarray*}$

Die Kraftvektor $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ wird an den einzelnen Ortvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ aufsummiert, die Anzahl der Wegstücke geht durch das d gegen Unendlich und man nähert sich somit der gesamten Arbeit bei einer Kurve.

Wenn man jetzt aber konkret etwas rechnet, mit z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{F}\left(x,y\right)= \left(-y,x\right) \end{eqnarray*}$ als Vektorfeld und $\begin{eqnarray*} c : \vec{r\left(t\right) }= \begin{pmatrix} t \\ t^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Kurve, so verwendet man diese Form:

$\begin{eqnarray*} \int_I \langle \vec F(C(t))*\vec C'(t) \rangle\,{\rm d}t. \end{eqnarray*}$

Wie kann man sich das erklären, dass man bei dieser Form die Kurve in den Kraftvektor einsetzt und diese dann skalar mit der Ableitung der Kurve multipliziert?
Wie kann man das anschaulich erklären?

Meine Ideen:

13.04.2012, 22:46

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RE: Arbeitsintegral Definition
Das zweite Integral ist im Grunde die Definition des ersten Integrals. Wie willst du ein Vektorfeld "an den Ortsvektoren aufsummieren" um dann hinterher auch noch eine natürliche Zahl rausbekommen?

Die Idee ist, dass du die Kraft "entlang eines Weges" aufsummieren möchtest. Dafür musst du erst einmal die Kraftkomponente in Richtung des Weges berechnen und dann aufsummieren.
Also: Kraftkomponente in Richtung des Weges:
- Richtung ist durch die Ableitung der Kurve gegeben.
- Kraftkomponente in diese Richtung ist durch die Projektion auf die Richtung gegeben.
- Die Projektion von Kraft auf Richtung ist durch das Skalarprodukt aus Richtung und Kraft gegeben.
Demnach musst du das Skalarprodukt aus Kraft (am Ort) und Bewegungsrichtung (Ableitung der Kurve) aufaddieren.

Gruß
MI

13.04.2012, 23:10

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RE: Arbeitsintegral Definition
Danke für deine schnelle Antwort!

Das mit der Ableitung hab ich jetzt verstanden. Die Ableitung also Tangente an einer bestimmen Stelle der Kurve gibt die Bewegungsrichtung an, welche dann skalar mit der Kraft an dieser bestimmten Stelle multipliziert wird, damit man die Arbeit an der besagten Stelle errechnet.

Meinst du mit "Projektion auf die Richtung" etwa das hier: $\begin{eqnarray*} \vec{F} \left(C\left(t\right) \right) \end{eqnarray*}$ ? Also dass man in den Parameter t etwas einsetzt, um die Kraftkomponente an einer Stelle auszurechnen?

13.04.2012, 23:24

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RE: Arbeitsintegral Definition
Und noch eine Sache:

Lautet das Ergebnis (für 0 bis 1) für mein Beispiel dann:

$\begin{eqnarray*} W=\int_0^1 \ \vec{F}(C(t))*\vec C'(t) \rangle\,{\rm d}t = \begin{pmatrix} -t^{2} \\ t \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix} = -t^{2}+ 2t^{2} = \int_0^1 \! t^{2} \, dt = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

14.04.2012, 00:35

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RE: Arbeitsintegral Definition

Zitat:

Das mit der Ableitung hab ich jetzt verstanden. Die Ableitung also Tangente an einer bestimmen Stelle der Kurve gibt die Bewegungsrichtung an, welche dann skalar mit der Kraft an dieser bestimmten Stelle multipliziert wird, damit man die Arbeit an der besagten Stelle errechnet.

Der markierte Teil sorgt bei dir für Verwirrung. Die Richtung ist durch die Ableitung gegeben - "c(t)" ist ja keine Richtung. "F(c(t))" gibt die Kraft an der Stelle an, wo wir gerade sind (wir bewegen uns ja auf der Kurve).
Die beiden Größen werden NICHT skalar multipliziert (denn es sind beides ja Vektoren) - dort steht ein Skalarprodukt!
Mit "Projektion" meine ich das, was das Skalarprodukt geometrisch macht: Es rechnet den Anteil aus, der von der Kraft in Richtung c'(t) läuft - denn das ist der Anteil, der Arbeit verrichtet.
Wenn deine Kurve immer senkrecht auf der Kraft steht, wird keine Arbeit verrichtet - in diesem Fall wäre das Skalarprodukt (also die Projektion auf die Richtung) Null.

Zusammengefasst: Arbeit ist Weg mal Kraft - aber eben nur Weg mal Kraftanteil in Wegrichtung. Und genau das drückt das Skalarprodukt aus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W=\int_0^1 \ \vec{F}(C(t))*\vec C'(t) \rangle\,{\rm d}t = \begin{pmatrix} -t^{2} \\ t \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix} = -t^{2}+ 2t^{2} = \int_0^1 \! t^{2} \, dt = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

[/quote]

Die Rechnung ist von der Präsentation her - gelinde gesagt - gruselig.

Zunächst (das habe ich allerdings oben auch nicht bemängelt): Entweder ein Malzeichen, oder die eckigen Klammern - dann aber mit Komma (und auf jeden Fall zwei Klammern Augenzwinkern

). Allles andere ist Notationsvergewaltigung.
$\begin{eqnarray*} W=\int_0^1 \langle \vec{F}(C(t)), \vec C'(t) \rangle\,{\rm d}t \end{eqnarray*}$
Bis dort ist das eben nur das Einsetzen der Definition. Dann rechnen - und eben die Integrale nicht einfach zwischendrin weglassen Augenzwinkern

.
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 \left\langle \begin{pmatrix} -t^{2} \\ t \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix}\right\rangle \,\mathrm{d}t =\int_0^1 -t^{2}+ 2t^{2}\mathrm{d}t = \int_0^1 \! t^{2} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Nachdem ich das für mich noch mal hingeschrieben habe, würde ich dann sagen, dass das so passt.

Gruß
MI

14.04.2012, 23:46

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RE: Arbeitsintegral Definition
Danke für die Antwort und fürs Kontrollieren!

Ich habs noch nicht so raus mit dem Formeleditor. Big Laugh

15.04.2012, 00:47

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RE: Arbeitsintegral Definition
Jo, kein Ding.
Ich war nur etwas verärgert zu Beginn, weil ich gestern Nacht dachte, dass sei Absicht gewesen - und eben auch zuerst dachte, dass die Rechnung falsch war, bis ich dahinterkam, wo was stand.

Aber wenn's jetzt passt, ist ja alles in Butter smile

.

Gruß
MI

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