Aufgabe zu Idealen im Ring

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Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Idealen im Ring
Guten morgen!
Ich habe mir gestern abend folgende Überlegungen gemacht, zu denen ich gerne eine Rückmeldung von euch haben würde :-)

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei M ein maximales Ideal von R. Zu zeigen ist, dass I = M[X] ein Primideal, aber kein maximales Ideal von R[x] ist.

Meine Ideen:

R[X]/I ist kein Körper, da Null und R[X] nicht die einzigen Ideale sind. Denn nach Aufgabenstellung ist M ein Ideal in R und damit ist M[X] ein Ideal in R[X]. I ist daher nicht maximal per definitionem (" I ist maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist").

R ist als kommutativer Ring mit 1 nullteilerfrei, da Integritätsbereich. R[X] ist dann ebenfalls nullteilerfrei und auch R[X]/I, denn I enthält ja keinerlei Begrenzung aus der eine Null entstehen könnte. Daraus folgt, dass I ein Primideal ist, da R/I nullteilerfrei.


Für Anmerkungen wäre ich sehr dankbar!!!
Liebe Grüße
Quad84
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Idealen im Ring
Ja, ist im wesentlichen korrekt... Freude

Ein Profi würde allerdings nur darauf hinweisen, dass R[X]/M[X] zu (R/M)[X] isomorph und daher zwar nullteilerfrei, aber nicht einfach ist...
 
 
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Mystic,
vielen Dank für deine Hilfe!

Vielleicht könntest du deine Meinung hierzu auch noch abgeben? smile

Für . ZU zeigen ist, dass J_p ein maximales Ideal von Z[X] ist. Ist J_p ein Hauptideal?

Meine Ideen:

Z[X] ist DAS Beispiel für kein Hauptideal.
J_p ist maximales Ideal, da p|f(0) und daraus folgt ja, dass p ein Element von Z[x] sein muss. Zudem ist p als Primzahl irreduzibel. Nach Definition ist J_p dann ein maximales Ideal von Z[x].
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Quad84
J_p ist maximales Ideal, da p|f(0) und daraus folgt ja, dass p ein Element von Z[x] sein muss. Zudem ist p als Primzahl irreduzibel. Nach Definition ist J_p dann ein maximales Ideal von Z[x].


Irgendwie scheinst du nach diesem Argument der Auffassung zu sein, dass Z[X] ein Hauptidealring ist... geschockt Dies ist umso erstaunlicher, als du oben noch geschrieben hast:

Zitat:
Original von Quad84
Meine Ideen:

Z[X] ist DAS Beispiel für kein Hauptideal.

womit du offenbar das Ideal in der Aufgabenstellung meintest und nicht Z[X] selbst... Aber ich bin es bei dir inzwischen ja schon gewohnt, über solche "Kleinigkeiten" hinwegzusehen... Big Laugh
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, das klingt ja "böse" traurig

Aber wären meine Gedanken - bis auf die Vewechslung des Ideals - sonst ok?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Quad84
Ohje, das klingt ja "böse" traurig

Aber wären meine Gedanken - bis auf die Verwechslung des Ideals - sonst ok?

Ja, langsam werde ich wirklich böse, denn habe ich oben nicht geschrieben, dass dein Argument voraussetzt, das Z[X] ein Hauptidealring ist, was es aber - wie du ja auch selbst schreibst - nicht ist?... unglücklich
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Idealen im Ring
Zitat:
Original von Quad84
Guten morgen!
Ich habe mir gestern abend folgende Überlegungen gemacht, zu denen ich gerne eine Rückmeldung von euch haben würde :-)

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei M ein maximales Ideal von R. Zu zeigen ist, dass I = M[X] ein Primideal, aber kein maximales Ideal von R[x] ist.

Meine Ideen:

R[X]/I ist kein Körper, da Null und R[X] nicht die einzigen Ideale sind. Denn nach Aufgabenstellung ist M ein Ideal in R und damit ist M[X] ein Ideal in R[X]. I ist daher nicht maximal per definitionem (" I ist maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist").

R ist als kommutativer Ring mit 1 nullteilerfrei, da Integritätsbereich. R[X] ist dann ebenfalls nullteilerfrei und auch R[X]/I, denn I enthält ja keinerlei Begrenzung aus der eine Null entstehen könnte. Daraus folgt, dass I ein Primideal ist, da R/I nullteilerfrei.


Für Anmerkungen wäre ich sehr dankbar!!!
Liebe Grüße
Quad84


Nachdem ich diese Lösung meinem Dozenten vorgestellt habe, meinte er, dass dies FALSCH ist :-(
Er meinte dazu folgendes:

Vor allem das zweite Argument liest sich so, als wäre jeder Faktorring vom Ring R[X] nullteilerfrei, sobald es R ist.Betrachten SIe aber z.B. R=Z[x] und I=(6).Versuchen Sie es über die folgende Linie:Ein Ideal I eines komm. Ringes R ist genau dann*) maximal, wenn R/I ein Körper ist.*) prim, wenn R/I ein Integritätsring ist.Um Teil a) zu beantworten, fragen Sie sich also: wozu ist der Ring R[x]/M[x] isomorph?

Nun habe ich nochmal meine Unterlagen durchforstet und das hier gefunden:

Wendet man den Homorphiesatz auf R[X] --> R, f --> f_0 an, dann ist R isomorph zu R[X]/x.Das x ist in meinem Fall das maximale Ideal.

Wenn der Faktorring also isomorph zum komm Ring mit 1 ist, dann muss R ja ein Integritätsbereich sein, aber kein Körper. Aber ist nicht jeder Körper ein Integritätsbereich???
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Idealen im Ring
Ja, ich hab mir das oben nochmals durchgelesen und es war wirklich Schwachsinn, was du da geschrieben hattest... unglücklich Zu meiner Ehrenrettung muss ich aber sagen, dass ich dir auch den richtigen Weg gewiesen hatte, aber du das (wieder einmal!) einfach ignoriert hast... geschockt

Tatsächlich sagte ich doch, dass dies eine einfache Folgerung daraus ist, dasss R[X]/M[X] isomorph zu (R/M)[X] ist und hättest du auch nur ein einziges(!) Mal darauf Bezug genommen, so hätte ich dir sicher auch noch den Grund dafür genannt, nämlich dass dies sofort aus dem Homomorphiesatz folgt, wenn man den surjektiven Homomorphismus f: R[X] ->(R/M)[X] betrachtet, der einfach eine Fortsetzung des natürlichen Homormorphismus von R auf R/M auf den Polynomring darstellt...

Naja, wie auch immer, ich bin hier raus... Wink
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