Isometrische Abbildung

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rox Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrische Abbildung
Gegeben sei eine lineare Abbildung
sie soll normerhaltend sein, wenn
und isometrisch, wenn
Jetzt soll gezeigt werden:
a) Die lineare Abbildung ist normerhaltend, genau dann wenn sie isometrisch ist
b) Jede normerhaltende lineare Abbildung ist bijektiv
c) Die Umkehrfunktion ist ebenfalls normerhaltend

Als Tipp haben wir noch diese Formel hier bekommen:

Leider weiß ich nicht so richtig wie ich mit dem Beweis anfangen soll und wäre deshalb sehr dankbar für eine kleine Starthilfe.

gruß rox
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isometrische Abbildung
Hier ist es wichtig, dass die Norm vom Skalarprodukt induziert wird. D.h. - damit kannst du etwas umschreiben. Dann heißt es mal beide Richtungen ausprobieren.

b) Folger Injektivität und daraus Bijektivität.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

ich gehe mal davon aus, du meinst wahrscheinlich nicht so. Nur wie soll ich umschreiben, hier ist doch gar kein Betrag?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

rox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider nicht nach welcher Regel man das so umschreiben kann.
Aber vielleicht
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sei z := x+y.
Dann ist , mit dem was ich eben geschrieben habe.
 
 
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfestellung ich war im Kopf immer noch bei Potenzen und nicht bei Koordinaten.
Habe jetzt mal was versucht:





Reicht das aus, um zu zeigen, dass isometrisch auch normerhaltend ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es falsch umgeformt. Es sollte das Gleiche rauskommen, weil es das Gleiche ist. Rechts kannst du Skalarprodukte ganz zu Anfang nicht so zusammenfassen.

Du willst zeigen, dass aus Isometrisch normerhaltend folgt. D.h. du fängst an mit , und deine Aufgabe ist es mit der Isometrie zu zeigen, dass es gilt und die Punkte auszufüllen.

Ich muss leider gleich für ~1 Stunde los. Vlt findet sich jemand der den Thread übernimmt, wenn nicht wirst du die Stunde warten müssen. Tut mir leid.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja sagen, dass
das Ganze könnte man dann auch mit
machen.
Aber ich weiß wie jetzt die Normerhaltung durch Isometrie beweisen soll.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

*Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich die Normerhaltung durch Isometrie beweisen soll.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »



Alles was dir noch fehlte ist die Isometrie anzuwenden.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU


Und das ist nun das Ergebnis? Hätte man auch selber drauf kommen können, leider sind die leichtesten Sachen manchmal doch die Schwersten Augenzwinkern
Danke für deine große Hilfe

PS: Aber was bringt einem dann der Tipp den wir erhalten haben?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der ist für die Rückrichtung. D.h. du hast Normerhaltung, und willst zeigen, dass es sogar eine Isometrie ist (Isometrie ist "stärker", weil (x,y) = (Tx,Ty) für alle x,y gelten muss, während Normerhaltend es nur (x,x) = (Tx, Tx) fordert. Aber dass es für alle x gilt reicht, damit es für alle Paare x,y gilt.)
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Muss die Rückrichtung auch noch gezeigt werden?
Da müsste man die rechte Seite des Tipps doch einfach nur so umformen, dass (x,y) rauskommt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Normerhaltend und willst nun die Punkte (wieder) ausfüllen:

Und dabei darfst du nur benutzen, dass |x| = |Tx| für alle x gilt. Fang am besten links an und setz den Hinweis ein.
rox Auf diesen Beitrag antworten »


durch ein paar Umformschritte komme ich dann auf

Aber irgendwie kann das nicht stimmen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt, du hast die Formel falsch umgeformt. Für diesen Zweck hat sie praktisch schon die perfekte Form. Alles was du noch tun musst ist (x+y, x+y) mithilfe der Norm darzustellen.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ja
Also:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also etwas vollständiger:


Nun weißt du, dass T die Norm erhält, d.h. du kannst bisschen einsetzen und gucken was du dann bekommst.
rox Auf diesen Beitrag antworten »



Ich hoffe mal man kann das so machen, langsam werde ich echt verrückt bei dieser Aufgabe.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »



Technisch gesehen muss man die Reihenfolge betrachten. Da T linear ist, kann man aus T(x+y) dann T(x) + T(y) und dann ist es eben (Tx, Ty). So sollte man es dann aufschreiben.
rox Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Alles, dann werde ich es so aufschreiben.
Flomoe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kannst du bitte die ganze Isometrie zeigen? Ich habe bis jetzt alles nachvollzogen,

1/2(|T(x+y)|^2- |T(x)|^2 - |T(y)|^2)=1/2 |T(x) + T(y)|^2- |T(x)|^2 - |T(y)|^2)


soweit bin gekommen... Ist das die Antwort oder muss ich es noch weiter umformen?


Gruß und danke
Flomoe Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem wollte ich fragen, ob mir jemand die b) und c) beantworten kann...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Umformung fehlt noch. Das ist gerade , und was war zu zeigen.

Zur b) hatte ich bereits gesagt: Zeige, dass die Abbildung injektiv ist. Für lineare Abbildungen gibt es dazu eine nette Verbindung zum Kern. Man kann dann allgemein zeigen, dass aus Injektivität sofort Bijektivität folgt.

c) Du weißt nun, dass T bijektiv ist, also gibt es eine Umkehrabbildung T^{-1}, damit muss man ein wenig rumspielen.

Ich bin jetzt erst einmal weg, wollte aber noch grob erklären wie man rangehen kann.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich per Email zu mehr Details aufgefordert wurde (Lösungswege gibt es hier leider nicht).

Zu b)
Du willst also zeigen, dass es Injektiv ist. Da T linear ist, reicht es zu zeigen, dass Tx = 0 nur für x = 0 gilt. Um das zu zeigen, wende auf die Gleichung die Norm an, und aus der Normerhaltung und eine Eigenschaft der Norm liefert sofort die Injektivität.
Dann braucht man noch eine Begründung warum Surjektität folgt. Lineare Abbildungen muss man nur den Basisvektoren kennen, und da wir Injektivtät haben, werden dann alle Basisvektoren des Zielraums getroffen.

c) Du hast Normerhaltung, also . Was passiert, wenn du setzt, was steht dann dort?
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