Hyperebene im projektiven Raum

14.04.2012, 11:30	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperebene im projektiven Raum Meine Frage: Guten Morgen, ich soll beweisen, dass jede Hyperebene in $\begin{eqnarray} P^{n}(F) \end{eqnarray}$ die gleiche Anzahl an Elementen hat wie $\begin{eqnarray} P^{n-1}(F) \end{eqnarray}$ , wobei F ein endlicher Körper mit q Elementen ist. Meine Ideen: Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} P^{n-1}(F) \\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + q +...+ q^{n-1} \end{eqnarray}$ Elemente hat. Also muss ich zeigen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} a_{0}x_{0}+...+a_{n}x=0 \end{eqnarray}$ ebenso viele Lösungen hat. Wie ich das machen soll, ist mir leider nicht so klar... Schonmal vielen Dank für Tipps!
14.04.2012, 11:38	Spezies8472	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie üblich: Fallunterscheidung affiner Anteil und Anteil im Unendlichen, sprich: $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ . Das Ganze mit Induktion verrühren.
14.04.2012, 17:35	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort! Allerdings macht mir der Induktionsschritt Schwierigkeiten. Wie komme ich von den Lösungen in $\begin{eqnarray} P^{n} \end{eqnarray}$ zu denen in $\begin{eqnarray} P^{n+1} \end{eqnarray}$ ?
14.04.2012, 18:22	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ich habe es jetzt. Kannst du/ihr mal drüber schauen, ob das so stimmt? Das wär super! Ich kann ja jedes Element in $\begin{eqnarray} P^{n+1}(F) \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} (c,d), \; c \in P^{n}(F), d \in F \end{eqnarray}$ . Wenn c eine Lösung ist, dann ist $\begin{eqnarray} (c,0) \end{eqnarray}$ eine Lösung in $\begin{eqnarray} P^{n+1}(F) \end{eqnarray}$ . Damit habe ich schonmal die $\begin{eqnarray} 1+ q+....+q^{n-1} \end{eqnarray}$ Lösungen. Die restlichen $\begin{eqnarray} q^{n} \end{eqnarray}$ bekomme ich, da für c $\begin{eqnarray} q^{n} \end{eqnarray}$ verschiedene Tupel in Frage kommen, von denen aber jeweils q äquivalent sind. $\begin{eqnarray} a_{0}c_{0}+....+a_{n}c_{n} \end{eqnarray}$ kann q Werte annehmen und d ist dann eindeutig bestimmt. Also habe ich nochmal $\begin{eqnarray} q^{n} \end{eqnarray}$ Lösungen in $\begin{eqnarray} P^{n+1}(F) \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, dass ich das einigermaßen verständlich aufgeschrieben habe (uns natürlich, dass es stimmt ).
15.04.2012, 17:47	Spezies8472	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte in Ordnung gehen.
15.04.2012, 19:07	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke!
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