Ableitungen und Tangenten

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Whisky Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen und Tangenten
Hallo freunde der Zahlen,

ich habe folgende Aufgaben mit denen ich nicht zurecht komme smile

gegeben ist

f (x) = 0,5x² + 2x

f'(x) = x+ 2


ich soll einmal beide Funktionen jeweils in ein Koordinaten system zeichen und dann tagenten an die parabeln für = -4, -3, -2, 0 konstruieren

Die erste Funktion müsste eine Parabel sein (laut TGR), die zweite weiß ich nicht!
Bei der ersten könnte ich anhand des Taschenrechners die parabel ablesen.
Bei der Zweiten weiß ich aber nicht mal, wie ich die in den Tg eingebe, wegen dem f ' (x)! Ich müsste doch die koordinaten von beiden irgendwie rechnerisch herausbekommen!

bei der ersten könnte ich mir vorstellen, dass ich einfach die nullstellen ausrechne dafür?

Wie gesagt bei der zweiten keine Ahnung unglücklich

Aucfh weiß ich nicht so recht, wie ich tangenten konstruiere :8

Über Hilfe und richtige Denkanstöße wäre ich sehr dankbar smile


Gruß
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Whisky,

eine Funktion stellt eine Parabel dar. (Nebenbei gibt es auch kubische Parablen x^3+.. und weitere)

Du könntest den Anstieg der Tangenten an der jeweiligen Stelle ausrechnen und dann mit Anstiegsdreieck zeichnen.

wie lautet denn die 2. Parabel??
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also was eie Parabel ist weiß ich smile

ich weiß nur nicht, wie wie ich aus den beiden oben genannten Funktionen die Werte ziehen kann. Damit ich diese in jeweils einen Koordinatensystem Zeichnen kann.

(ausser vllt. vom TGR abschauen!)

Das sind die einzigen Funktionen, die ich dazu bekommen habe.
Ich sehe gerade, dass die zweite Funktion eine Gerade sein müsste und keine Parabel!?


Gruß
iForReal Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Tipp, leite mal die Parabelfunktion ab... du wirst staunen smile


Und wenn du das gemacht hast, zeichnest du erst die Parabel in dein Koordinatensystem.

Dazu brauchst du nur die für genannten Werte den -Wert ausrechnen und eintragen:

Du erhälst also bei jeder Rechnung zunächst einen Punkt



MfG

ForReal
thk Auf diesen Beitrag antworten »

@ Whisky
Da du einen grafikfähigen TR hast, kannst du die Funktionswerte über das TABLE-Menü anzeigen lassen. Mit INTERSECTION ginge es auch zur Not. Ansonsten musst du ehrlich ausrechnen,
z.B. y=f(-4) = 0,5*(-4)^2 + 2*(-4) für x0=-4 usw.

Falls dir der Begriff Ableitungsfunktion nicht vertraut ist, die hast du sie mit f' gegeben, ansonsten nach iForReal mit 'Staunen' als f' sicherlich erkannt. f' stellt eine Gerade dar und ist daher zu sich selbst Tangente (da brauchst du keine suchen).

Der Funbktionswert von f'(x0) ist der Anstieg m der Tangente in x0. Der Anstieg m an der Stelle x0=-4 lautet demnach z.B. f'(-4)=-2. Also m=-2
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Ersteinmal vielen dank für eure Unterstützung smile Wink

@ iForReal

wenn ich wüsste, wie das geht bzw. wüsste, was du meinst würde ich es machen unglücklich

@thk

Also im prinzip gverstehe ich gerade Bahnhof unglücklich was nicht so tgut ist!
Ich reiße mich aber mal stark zusammen und habe mir nochmal meine Unterlagen angesehen!

Ich habe jetzt auch die Tablefuktion im TRG gefunden smile Die war mir vorher unbekannt und ist sicherlich besser als intersection (das mir bekannt war)!
kann ich im TRG die Gerade f ' (x) = x + 2 ganz normal bei y= eingeben?

Durch den Tip mit der Tablefunktion ist mir auf jeden Fall geholfen! Danke!


Wäre noch das Problem mit der Tangente unglücklich

Zitat:
Der Funbktionswert von f'(x0) ist der Anstieg m der Tangente in x0. Der Anstieg m an der Stelle x0=-4 lautet demnach z.B. f'(-4)=-2. Also m=-2


OK! So weit so klar!
Aber wie kommst du auf die -2 ud wie hilft mir das beim Zeichnen der Tagente der Parabel? Und Stehen die angegebenen beiden angebenen Funktionen in einem Zusammenhang, der für die Tangenten Wichtig ist?

Gruß
 
 
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Wink

Du sollst hier mehr oder weniger eine Kuvendiskussion durchführen.
Ist dir der Begriff bekannt?
Und wie schon angedeutet musst du hierfür mit Ableitungsfunktionen vertraut sein.



Du möchtest Tangenten zeichnen. Am besten ist es, wenn du dir dafür die markanten Stellen anschaust:

Hier: Nullstellen und Y-Achsenabschnitt

Nun weißt du ja schon, dass deine zweite Funktion



Die Ableitung der Funktion



darstellt.
Ich nehme an dieser Stelle an, das du weißt, wie man ableitet.

Eine Ableitung stellt dir Steigung ihrer Stammfunktion dar.
(Somit markieren ihre Nullstellen die Stellen der Extrema (d.h. Hoch- und Tiefpunkte) ihrer Stammfunktion aufzeigt.)

Das bedeutet, der y-Wert der 2. Funktion (der Ableitung) zeigt die die Steigung m einer Tangente am beliebigen Punkt


Um jetzt die Tangente zu zeichnen benötigst du folgendes Grundwissen:



Dabei ist m die Steigung der Geraden und b ihr Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt).

Um eine Gerade zu zeichnen benötigst du nur 2 Punkte.


Dies geht nun folgendermaßen:

Um die Tangente an deinen Punkten (zb. x = -4) zu zeichnen, berechnest du erstmal die Steigung der Stammfunktion an der Stelle x = -4.

Und wie du schon weißt, berechnet sich dieser aus dem y-Wert der 1. Ableitung:





Das ist nun die Steigung m der Tangente am Punkt x = -2

Somit lautet die Tangentengleichung:



Du brauchst jedoch 2 Punkte, um die Tangente zeichnen zu können.
(Du kannst natürlich auch das Steigungsdreieck benutzen)

Dazu Berechnen wir den y-Achsenabschnitt der Tangente am Punkt -4:





Jetzt lautet die Tangentengleichung:



Jetzt benötigst du nur noch den y-Wert von -4:




Jetzt hast du zwei Punkte gegeben:

P(0|-4) Q(-8|0)

Kontrolle:




Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo techus,

vielen dank für deine Hilfe smile

Du hast als letztes die Punkte (0|-4) Q(-8|0) angeben!
Hast aber (-4|0) Q(0|-8) gezeichnet, oder?

denn rechenweg habe ich verstanden (denke ich). Was mich noch interessieren würde, ist wie ich an der von dir genannten Stelle das Steigungsdreieck benutzen kann smile

und in was für einen Verhältniss, die Parabel zu der Ableitung steht?
Ist die einfach so in der Aufgabe gegeben oder ergibt sich die duch die Parabelgleichung?


Nochmals vielen dank für deine Hilfe smile Freude
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Da thechus off ist, klinke ich mich wieder mal ein...

t(-4)=0 ist der Berührungspunkt P(-4 | 0). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Q(0 | -8).
Also wie gezeichnet (und angegeben). Alles korrekt.

Edit: hab gerade gesehen, thechus hat versehentlich die Koord vertauscht, aber jetzt ist ja alles klar.

---

Beim Steigungsdreieck verwendest du

Für m=-2 = -2/1 gehst du vom Berührungspunkt P 2 nach unten (--> -2) und eins nach rechts (--> +1)

---

Für die Ableitungsfunktion gibt es Bildungsregeln (Rechenregeln), die ihr offenbar noch nicht gelernt habt.

LG
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Jap Wink

Nichts hinzuzufügen außer ein Bild zur Veranschaulichung passend zum Beispiel:

[Guckst du unten]


Die Sache mit den Ableitungen bzw. der Differenzialrechnung kann ich grad aus Zeitgründen nicht erklären.

Ich empfehle dir mal auf mathe-online.at vorbeizuschauen.

Bei Fragen bin ich heute Abend wieder erreichbar.
Einfach stellen.

Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

GUten Morgen,

ohh man ich glaub ich versteh das ein oder andere immer noch nicht unglücklich


Zitat:


Wenn ich das so in den Rechner eingebe zeigt er mir error!
Und wenn ich die -4 einklammere, dann kommt 8 (also +8) raus!? unglücklich


In dem Fall f ' (-4)=-2 müsste ich von punkt -4, zwei nach rechts, vier nach unten und bei f ' (-3)= -1 , eins nach rechts und drei nach unten?


Gruß
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem mit der - 8 habe ich gelöst smile




ich setze die vier in klammer dann kommt zwar +8 raus, aber ich muss das b ja alleine stehen haben, und wenn ich die acht rüberziehe wirds negativ tatataaa Big Laugh
manchmal hilft es, wenn ich mein Gehirn anstrenge! Aber auch nur manchmal!
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Nocmals ich Big Laugh


OK

ich habe für = -3 folgendes raus:
f ' (x) = x + 2
f ' (-3)= -3+ 2
f ' (-3)= - 1









Jetzt ist mir noch nicht ganz bewusst, wie man daraus die gegeben Punkte zieht!
da du bei dem ersten Beispiel jeweils pro Punkt eine Null hattest.
hier würde ich sagen wäre ein Punkt:

P (-3/-1) und ein weiterer (0/-3) !? Wäre das richtig?


und würde ich hier im Steigungsdreieck einen nach rechts und drei nach unten gehen? Und von wo aus starte ich das Steigungsdreieck. Von -4?


verwirrt
Gruß
Thechus in School Auf diesen Beitrag antworten »

Hey

Zitat:

Zitat:

Zitat:


Du hast hier den y-Wert 0 gewählt.

Das Problem hierbei ist, dass du den falschen x-Wert für die Tangente für den Punkt(x|0) hast.

Den müsstest du erst ausrechnen.

Den Punkt den du gegeben hast, der liegt auf x = -3.

Um den dazugehörenigen y-Wert zu berechnen setzt du erstmal in die Tangentengleichung ein.

Als Lösung solltest du y = -1,5 bekommen.

Kontrolle:




Deine Gerade ist die Grüne.

Setzt du jetzt:





Das wäre der korrekte Wert.

Den Schritt habe ich versehentlich ausgelassen, da der Wert beim Beispiel ja schon auf der x-Achse lag...

Beim Steigungsdreieck würdest du einen nach rechts und einen nach unten gehen.

m = -1 bedeutet:

Wenn du einen nach rechts gehst gehst du einen nach unten.

m = -10 bedeutet:

Wenn du einen nach rechts gehst gehst du 10 nach unten.

Ich hoffe das war verständlich ich bin ein wenig in Eile die Freistunde ist fast zuende.
Bin später wieder da.

Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

HI,

jetzt verstehe ich gar nichts mehr und bin völligst verwirrt traurig Woher hast du plötzlich die 1,5 her?


Also, du hattest beim ersten bsp. gesagt:






Das ist nun die Steigung m der Tangente am Punkt x = -2

Somit lautet die Tangentengleichung:



Du brauchst jedoch 2 Punkte, um die Tangente zeichnen zu können.
(Du kannst natürlich auch das Steigungsdreieck benutzen)

und wenn ich von der Stell - 4, 2 nach rechts gehe und 4 nach unten komme ich auf den Verlauf der dafür gesehen tangente!

Das würde ja bedeuten, ich könnte auch bei :

= -3:
f ' (x) = x + 2
f ' (-3)= -3+ 2
f ' (-3)= - 1

mit dem steigungsdreieck arbeiten?
oder?
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey!

Okay dann nehm ich mir mal die Zeit.

In meinem ersten Beispiel habe ich die Berechnung des y-Wertes dummerweise ausgelassen, da ich davon ausging, dass das klar ist.

In meinem Beispiel hatte ich den Punkt (-4|0) gegeben, von dem auch ich rechnen konnte.

Du hast jedoch den y-Wertes deines Punktes nicht gegeben, und bist trotzdem von 0 ausgegangen.
Tust du dies, wird dein Punkt auf der x-Achse liegen, obwohl er auf der Parabel bzw Funktion f(x) liegen soll.

Hier:



Die Steigung stimmt, nur liegt die gerade einfach im Koordinatensystem rum und ist keine Tangente der Funktion f(x) an Punkt -3.
Dies ist so, weil du an folgender Stelle mit dem y-Wert 0 gearbeitet hast:




Die Null hier ist dein Fehler.
Damit hast du den Punkt auf die x-Achste versetzt (s.o.).

Eine Tangente hat die Eigenschaft, dass sie mit der ihrer Stammfunktion einen Berührpunkt hat:



Dieser Berührpunkt ist charakteristisch für jede Tangente.
Und das nutzen wir jetzt aus:

Die stelle dieses Berührpunktes kennst du schon (x = -3)
Das bedeutet, dort müssen die y-Werte der Funktion f(x) sowie der Funktion f'(x) identisch sein. (sonst wären es ja nicht die selben Punkte Augenzwinkern )

Um diesen Wert zu bekommen setzt du x nun entweder in f(x) oder t'(x) ein.
Da du aber bei t'(x) 2 unbekannte Variablen hast setzt du bei f(x) ein:









Das ist nun dein gesuchter Punkt P:



Und ja, von dem Punkt aus kannst du nun das Steigungsdreieck benutzen wie du es beschrieben hattest oder mit dem üblichen Verfahren weiterrechnen.


Gruß,
thechus
iForReal Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, so kannst du das Steigungsdreieck benutzen..

Nur für die Tangentengleichung musst du b natürlich ausrechnen:



Erhälst du durch Einsetzen des x-Wertes in .

Ist bekannt.

Hast du ja mit errechnet.

Alle Punkte einsetzen und nach auflösen.


MfG

ForReal


Edit:// Obere Version ist natürlich schöner Augenzwinkern //
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Man leute ich bin euch echt dankbar...
aber ich raf es immer noch nicht ganz unglücklich es ist zum heulen unglücklich

was ich schonmal verstanden habe ist,
Woher du die eins 1,5 hast, das wäre mal als beispiel bei Xo = -2, die -2? oder?
wie gehe ich jetzt aber mit den daten für das steigungsdreieck vor vor?

also ich habe jetzt den Punkt

wo setze ich das dreieck an?
An dem punkt (-3/-1,5)?
dann sieht es bei mir anders aus, als bei techus zecihnung unglücklich


Grüße und vielen dank

der verzweifeifelte whisky
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du es denn mit dem Steigungsdreieck machen?
Es gibt einfachere Methoden. Freude

Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass ich es mit der Rechnung immer nicht ganz verstehe und wir das im unterricht dem Steigungsdreieck besprochen haben. unglücklich

Ich wünschte ich hätte mit Mathe nicht immer solche Probleme unglücklich
iForReal Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Steigungsdreieck, das einfachste zuerst:


Gehe zum Punkt .

Von hier aus gehst du jetzt einen nach rechts und einen nach unten.
Mache dort einen Punkt ()

Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

Fertig Freude


MfG

ForReal
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke dir forReal!


warum den jetzt 1 rechts 1 links verwirrt traurig
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay..

Ich zeige dir erstmal eine einfachere Methode und erkläre dir wenn du diese verstanden hast dann die mit dem Steigungsdreieck ausführlicher....

Ja bei stimmt dein Ergebnis.

Das ist schon die halbe Miete.

Die Methode, die ich dir jetzt zeige, ist die einfachste (meiner Meinung nach):

Alles was du wissen musst, ist, dass der y-Achsenabschnitt einer Geraden IMMER die Koordinaten hat.

Der y-Achsenabschnitt liegt demnach IMMER auf der y-Achse.

Also hast du im Moment folgenden 2. Punkt gegeben:



Wie du den Y-Wert ausrechnest, weißt du ja schon.
Du musst die Tangente nach b auflösen (b ist der Y-Achsenabschnitt)





t(-3) = y-Wert an der Stelle x = -3 also -1,5:






Jetzt hast du den Y-Achsenabschnitt berechnet und kennst gleichzeitig auch die Tangentengleichung:


bzw:


Und somit die beiden Punkte:


Edt: nicht nochmal!


Ich hoffe das war verständlich Big Laugh

Gruß,
thechus
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

So hier jetzt mal das dingm it dem Steigungsdreieck:

Du setzt dabei an irgend einem bekannten Punkt an der Geraden an.
In unserem Fall ist dieser ja



Du kennst die Steigung. Diese beträgt m = -1
Wie ich schon meinte musst du mit dem Wert wie folg umgehen:

m = -1 bedeutet:
Gehst du einen nach rechts musst du einen nach unten gehen.

m = -3 bedeutet:
Gehst du einen nach rechts musst du 3 nach unten gehen.
(oder: gehst du nach unten musst du einen nach rechts gehen aber bleib lieber bei der 1. Variante)

m = 4 bedeutet:
Gehst du einen nach rechts musst du 4 nach oben gehen

Für unser Beispiel habe ich am Punkt



angesetzt und bin entsprechend der Steigung



Immer einen nach rechts und einen nach unten.
Nach dem ersten Dreieck hast du schon einen zweiten Punkt mit dem du die Gerade dann Zeichnen kannst.
Ich hab dann noch einige weitere angehängt...

Anbei: Bild

Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr seit echt spitze! Vielen dank für eure geduld smile

Wenn ich es so lese klingt es einleuchtend und verständlich.
Sobald ich mich selber ran mache!

Also ich versuche das ganze jetzt mit Xo = -2

f ' (x) = x-2
f ' (-2) = -2+2
f ' (-2) = 0



t(-2) = y-Wert an der Stelle x = -2 also -2:








wäre P (-2/-2) Q(0/-2)

?
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Doppelpost!
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Jap.

Stimmt! Freude



Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

danke! smile



Jetzt dachte ich, ich habe einen Lauf und dann stolpere ich über Xo=0


f ' (x) = x+ 2
f ' (x) = 0+2
f ' (x) = 2

t(x) = mx+b
t(0)=2*0+b
0=2*0+b
0=b

P (0/0) Q (0/0?


??? kann das sein?
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ja das kann sein. Schau dir das Bild an und guck mal so die Gerade die y-Achse schneidet!
(Das ist nämlich das, was b bzw. der y-Achsenabschnitt aussagt)



Gruß,
thechus
Whisky Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir sehr, sehr, sehr Freude
ich war echt schon am verzweifeln smile
ich wünsche dir noch einen entspannten Abend! Ich werde jetzt zur Schule gehen Big Laugh


Wink
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