metrische Geometrie

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Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »
metrische Geometrie
Hallo, ich muss 2 Module Mathematik belegen wenn ich Grundschullehrer werden will. Ein Modul davon nennt sich:

analytische Geometrie

Leider war die erste Vorlesung nicht sehr verständlich und ich finde kein weiterführendes Material was sich verständlich damit beschäftigt.

Primär geht es mir um Metrik. Ich habe Übungsaufgaben bekommen in dem ich für Abbildungen mit Abbildungsvorschrift beweisen soll das es sich um Metriken handelt. Ausserdem soll ich die Einheitskugel skizzieren.

Ich weiß auch das ich die 3 Punkte nachweisen soll (Definitheit, Symmetrie, Dreiecksungleichung)

http://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum

Aber ich habe keinen richtigen Ansatz wie man die 3 Punkte nachweisen kann.

Kennt jemand gute Bücher, Informationsmaterial zu diesem Thema ? In meiner Uni Vorlesung habe ich nur 3 Ungleichungen wie beispielsweise die Cauchy Schwarz Ungleichung bekommen, aber keine richtigen Anhaltspunkte wie man genau eine Metrik nachweist.

viele Grüße,
Xenia
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Thema Definitionen nachrechnen gibts keine Literatur. Was es gibt wären Bsp. wie mans macht. ich würde wetten, dass mind. ein solches Bsp. in der Vorlesung drankam. Ansonsten finden sich auch hier am Board Beispiele.
Wenn du deine Aufgabe postest kann man dir wohl am besten helfen.
Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet so:

Weisen Sie nach, dass durch



durch



eine Metrik auf wird. Skizzieren Sie für n=1, n=2, n=3 die Einheitskugel.
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

Erster Punkt:
positive Definitheit von d:
z.z. ist also
Was heißt das bei dieser Aufgabe? (also die Def. von d eingesetzt)
Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »

Na der Abstand zwischen 2 Punkten muss größer gleich 0 sein das ist schon durch die Definition des absoluten Betrag gegeben, Maximum spielt an dieser Stelle keine Rolle.



Gilt das in der Form schon als Beweis für diesen ersten Punkt ?
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt hier in diesem konkreten Fall d(x,x) ?

Ein y hat hier nichts zu suchen.
 
 
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

Merke gerade, dass wir von leicht unterschiedlichen Definitionen ausgehen. Wenn du zeigen willst passts.
Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ich verstehe nicht. Definitheit bedeutet



Also muss doch |x-y| > 0 sein

x ist die Startkoordinate, y die Endkoordinate von so einem Abstand und das muss >=0 sein
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits geschrieben:
Wenn du zeigen willst ist es in Ordnung, ich wollte auf was anderes raus (nämlich d(x,x)).
x und y sind hier aber keine Koordinaten sondern Vektoren.

Damit fehlt noch die zweite Hälfte der Definitheit in der Wikipedia Def., nämlich
Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist dann d(x,x) ? Worauf wolltest Du da hinaus ?

Okay x und y sind Vektoren weil wir ja abbilden.
Lässt sich das dann bildlich in einem Raum überhaupt noch vorstellen ? Dann wäre doch x selbst schon ein Abstand !? Oder hat man dann implizit zwei Metriken ? verwirrt

Naja und was die Regel:

angeht. Für alle rellen Zahlen und somit auch für deren Vektoren geilt x-x=0 somit ja auch für x-y wenn y=x.
Experte Auf diesen Beitrag antworten »

d(x,x) ist der Abstand des Vektors x von sich selbst. Es ist a priori nicht klar, dass dieser 0 ist.
Worauf wollte ich hinaus: Auf eine leicht andere Def. von Metrik und darauf, dass du die def. richtig einsetzt.

kann ich mir für n größer als 3 nicht mehr vorstellen; es gibt Leute die behaupten sie könnten das. Aber man muss es gar nicht vorstellen können - wir kennen ja die rechenregeln.
Ein Vektor ist kein Abstand, der ja als eine Zahl gegeben ist. Wo du hier eine zweite Metrik siehst weiß ich auch nicht.

Was heißt denn ?
Xenia87 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich habe mir das gerade noch einmal in einem einfachen Beispiel aufgezeichnet. x ist ein Vektor, y ist ein Vektor und der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist die Metrik.

d(x,x) wäre der Abstand des Vektors auf sich selbst und dass muss ja 0 sein, klar.

d(x,y)=0 wenn x=y und das ist das gleiche wie d(x,x)=0.
Dieser Pfeil bedeutet Äquivalenz.

Ich kann mir im Moment einen Abstand nicht vorstellen für die Dimension 1 und auch für die Dimension größer als 3.

Und ich frage mich, ob es bei einem Beweis, der ja in dieser Übungsaufgabe erbracht werden soll, ausreicht einfach zu schreiben, dass man ja leicht sehen kann das |x-y| immer größer 0 ist und das x-x=0 ist. verwirrt
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