Kreise berühren Dreieck von innen |
14.04.2012, 14:10 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kreise berühren Dreieck von innen Dre kongruente Kreise berühren jeweils zwei Seiten des Dreiecks ABC von innen und haben einen gemeinsamen Punkt O. Zeige, dass der Inkreismittelpunkt, der Umkreismittelpunkt und O auf einer Geraden liegen! Meine Ideen: Leider nicht viel. Ich habe mir überlegt, mit Thales zu argumentieren, es sind ja auch einige rechte Winkel (bei den Radien/Tangente) da. Allerdings bin ich damit nicht wirklich weitergekommen. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! |
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14.04.2012, 14:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kernidee des Beweises: Es seien die Mittelpunkte der drei Kreise . Dann ist offenbar der Umkreismittelpunkt des Dreiecks , und dieses Dreieck entsteht durch zentrische Streckung des Dreiecks mit Streckungszentrum (= Inkreismittelpunkt beider Dreiecke). |
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14.04.2012, 14:19 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah... Gute Idee! Danke! Aber wieso müssen denn die Dreiecke und ähnlich sein, mit Streckzentrum I? |
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14.04.2012, 14:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du mal eine Zeichnung gemacht? |
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14.04.2012, 14:23 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber auf die Idee hab ich noch nicht geachtet. Ich schau sie mir mal an und sag dir dann meine Ideen! |
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14.04.2012, 14:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus der Kongruenz der drei Kreise sowie der Berührbedingung folgen die Parallelitäten , und daraus folgt die Ähnlichkeit. Nicht nur die Ähnlichkeit, sondern sogar eben die aus einer zentrischen Streckung resultierende Ähnlichkeit. Was das Streckungszentrum betrifft: liegt auf der Winkelhalbierenden von , auf der Winkelhalbierenden von , und schließlich auf der Winkelhalbierenden von ... |
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14.04.2012, 14:29 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei dieser Zentrischen Streckung wird B auf M2 abgebildet, A auf M1, C auf M3 und U auf O abgebildet und I bleibt I. Warum das I bleibt I so sein muss weiß ich noch nicht ganz. Auf jeden Fall kann man sagen, dass die Punkte M1, M2 und M3 auf den jeweiligen Winkelhalbierenden von A, B, und C liegen müssen, warum die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC auch die des Dreiecks M1M2M3 sein müssen, weiß ich auch noch nicht. Komme ich damit weiter? EDIT: Ups, jetzt hast du ja schon einen Beitrag erstellt, den hab ich total übersehen! |
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14.04.2012, 14:32 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, kannst du Gedanken lesen, in deinem Beitrag hast du nämlich alles genau beantwortet, was ich in meinem nächsten geschrieben habe. Weil die jeweiligen Strecken parallel sind, muss auch I der Inkreismittelpunkt des Dreiecks M1M2M3 sein. |
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14.04.2012, 14:35 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit ist dann doch auch klar, dass U auf der Geraden IO liegt, da U ja die Abbildung von O mit Streckzentrum I ist. Bin ich jetzt nicht eigentlich fertig? |
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14.04.2012, 14:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich hab dann mal eine passende Skizze gemacht: [attach]23954[/attach]
So sieht's wohl aus. |
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14.04.2012, 14:42 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Das ging ja schneller als ich gedacht hätte!!! FCL |
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14.04.2012, 14:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit der richtigen Idee geht's schnell, ja. Man kann das Problem auch stoisch und geduldig totrechnen und dabei locker mehrere A4-Blätter füllen. |
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14.04.2012, 15:05 | FCL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hab ich nicht unbedingt Lust drauf... Danke für deine Hilfe! FCL |
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