Kreise berühren Dreieck von innen

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FCL Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise berühren Dreieck von innen
Meine Aufgabe:

Dre kongruente Kreise berühren jeweils zwei Seiten des Dreiecks ABC von innen und haben einen gemeinsamen Punkt O. Zeige, dass der Inkreismittelpunkt, der Umkreismittelpunkt und O auf einer Geraden liegen!

Meine Ideen:

Leider nicht viel. Ich habe mir überlegt, mit Thales zu argumentieren, es sind ja auch einige rechte Winkel (bei den Radien/Tangente) da. Allerdings bin ich damit nicht wirklich weitergekommen.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kernidee des Beweises:

Es seien die Mittelpunkte der drei Kreise .

Dann ist offenbar der Umkreismittelpunkt des Dreiecks , und dieses Dreieck entsteht durch zentrische Streckung des Dreiecks mit Streckungszentrum (= Inkreismittelpunkt beider Dreiecke).
 
 
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah... Gute Idee! Danke!
Aber wieso müssen denn die Dreiecke und ähnlich sein, mit Streckzentrum I?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du mal eine Zeichnung gemacht?
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber auf die Idee hab ich noch nicht geachtet. Ich schau sie mir mal an und sag dir dann meine Ideen!
Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Kongruenz der drei Kreise sowie der Berührbedingung folgen die Parallelitäten

,

und daraus folgt die Ähnlichkeit. Nicht nur die Ähnlichkeit, sondern sogar eben die aus einer zentrischen Streckung resultierende Ähnlichkeit.


Was das Streckungszentrum betrifft: liegt auf der Winkelhalbierenden von , auf der Winkelhalbierenden von , und schließlich auf der Winkelhalbierenden von ...
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei dieser Zentrischen Streckung wird B auf M2 abgebildet, A auf M1, C auf M3 und U auf O abgebildet und I bleibt I. Warum das I bleibt I so sein muss weiß ich noch nicht ganz. Auf jeden Fall kann man sagen, dass die Punkte M1, M2 und M3 auf den jeweiligen Winkelhalbierenden von A, B, und C liegen müssen, warum die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC auch die des Dreiecks M1M2M3 sein müssen, weiß ich auch noch nicht. Komme ich damit weiter?

EDIT: Ups, jetzt hast du ja schon einen Beitrag erstellt, den hab ich total übersehen!
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, kannst du Gedanken lesen, in deinem Beitrag hast du nämlich alles genau beantwortet, was ich in meinem nächsten geschrieben habe. Weil die jeweiligen Strecken parallel sind, muss auch I der Inkreismittelpunkt des Dreiecks M1M2M3 sein.
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist dann doch auch klar, dass U auf der Geraden IO liegt, da U ja die Abbildung von O mit Streckzentrum I ist. Bin ich jetzt nicht eigentlich fertig? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab dann mal eine passende Skizze gemacht:

[attach]23954[/attach]

Zitat:
Original von FCL
Bin ich jetzt nicht eigentlich fertig? smile

So sieht's wohl aus. Augenzwinkern
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Das ging ja schneller als ich gedacht hätte!!!
FCL Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der richtigen Idee geht's schnell, ja. Man kann das Problem auch stoisch und geduldig totrechnen und dabei locker mehrere A4-Blätter füllen. Big Laugh
FCL Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich nicht unbedingt Lust drauf... unglücklich

Danke für deine Hilfe! Freude
FCL
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