Konvergenz Quotient => konvergenz beider folgen

14.04.2012, 15:16

barracuda317

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Konvergenz Quotient => konvergenz beider folgen

Zeigen Sie, dass für zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n <0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \iff \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert

Idee:

Kann ich aus $\begin{eqnarray*} lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} a_n = b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist ?

Ich weiß jeweils, dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert. Für de Grenzwertsatz für Quotienten von Folgen war aber die Vorraussetzung, dass beide Folgen konvergieren.

In meiner Rechnung beginnt es bei:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{b_n} - \frac{a}{b}| = |\frac{b*(a_n -a)-a(b_n-b)}{b(b_n)}| \le \frac{|b|*|(a_n -a)|+|a||(b_n-b)|}{|b||(b_n)|} \end{eqnarray*}$

Kann ich damit schon irgendwie auf die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ schließen?

14.04.2012, 15:24

Che Netzer

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RE: Konvergenz Quotient => konvergenz beider folgen
Solche Folgen existieren gar nicht. Wenn die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ein anderes Vorzeichen haben als $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ kann der Grenzwert des Quotienten nicht positiv sein.

mfg,
Ché Netzer

14.04.2012, 15:33

barracuda317

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Oh, da ist mir beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.

es gilt $\begin{eqnarray*} a_n > 0, b_n > 0 \end{eqnarray*}$

Sorry.

14.04.2012, 15:37

Che Netzer

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Dann kannst du weder folgern, dass $\begin{eqnarray*} a_n=b_n \end{eqnarray*}$ (schon gar nicht für alle n), noch dass beide Folgen konvergieren. Und auch wenn sie existieren, muss $\begin{eqnarray*} \tfrac ab \end{eqnarray*}$ nicht definiert sein. Betrachte z.B. folgende Beispiele:
1. $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n=\sqrt[n]2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a_n=b_n=n \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} a_n=b_n=\tfrac1n \end{eqnarray*}$

14.04.2012, 15:43

barracuda317

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Okay, dass waren nur Ideen. Ich soll ja zeigen, dass aus der Konvergenz der einen Folge, die Konvergenz der anderen Folge folgt. Daher mein Ansatz mit dem Beweis des Grenzwertsatzes, wobei ich da eben auf den Schluss kommen muss, dass die andere Folge auch konvergiert..

Worauf kann ich aufbauen?

14.04.2012, 15:45

Che Netzer

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Multipliziere mit 1. Oder besser gesagt mit einer "asymptotischen Eins".

Edit: Um die Konvergenz der Folgen geht es hier überhaupt nicht.

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14.04.2012, 15:53

barracuda317

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Und was, wenn nicht der Konvergenz, geht es denn überhaupt? Und wo soll ich die 1 multiplizieren?

14.04.2012, 15:55

Che Netzer

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Es geht um die Konvergenz der Reihen.

Und wo würde denn eine gut gewählte Eins hinpassen?
Anders gefragt: Wovon gehst du aus (Voraussetzung und eine Aussage) und was möchtest du zeigen?

14.04.2012, 16:14

barracuda317

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Das ist natürlich richtig. Über die Folgen a_n und b_n sagt das noch nichts aus. Aber wenn eine Reihe konvergiert, muss ja die Folge über die sie geht eine Nullfolge sein.

Ich muss ja beide Implikationen zeigen (sind vermutlich ähnlich):

Voraussetzung ist also:

$\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.
zudem gelten die Vorrausetzung die noch dabei standen, wobei diese nur die Positivität aller Folgenelement und eine Division durch 0 verhindern.

Zeigen möchte ich, dass nun auch die Reihe über b_n konvergiert.

Aber bis jetzt habe ich ja in meiner Erklärung was zu tun ist nur Folge durch Reihe ersetzt.

14.04.2012, 16:45

Che Netzer

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Und jetzt multipliziere mal etwas zu den Summanden...

14.04.2012, 16:48

barracuda317

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Was ist denn dabei das Ziel? Veilleicht hilft mir das beim Suchen nach der passenden 1.

14.04.2012, 16:53

Che Netzer

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Das Ziel ist, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Und das, was du multiplizieren sollst, ist wie gesagt keine "echte" Eins.

14.04.2012, 16:58

barracuda317

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Ja, was ich ganz hinten zeigen will, weiß ich.

Aber warum soll ich die eins Multiplizieren, wo will ich durch diesen Schritt hin. Und was meinst du mit "echter" Eins. Irgendwo soll man durch diese "geschickte" 1 etwas umformen können. Aber dafür müsste ich ja wissen, wohin ich umformen will.

14.04.2012, 17:05

Che Netzer

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Du willst dahin umformen, dass die Reihe über $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert. Und wenn du alle Summanden mit 1 multiplizierst, konvergiert die Reihe immer noch, oder?
Und was kennst du, was sich zumindest im Unendlichen wie 1 verhält?

14.04.2012, 17:11

barracuda317

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Ja, die Multiplikation mit 1 ändernt nichts an den Gliedern der Partialsummenfolge.

Im Unendlichen wie 1 verhält? Sorry, wenn ich hier unwissend Herumtapse, mir ist es nicht klar.

14.04.2012, 17:13

Che Netzer

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Sieh dir doch mal deine Voraussetzung an. Siehst du da irgendwo eine 1?

14.04.2012, 17:18

barracuda317

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$\begin{eqnarray*} lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{b_n}{a_n} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$

Meintest du das? Dann kann ich doch sicherlich alle a_n herauskürzen und komme auf b_n

14.04.2012, 17:20

Che Netzer

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So in etwa. Du solltest allerdings jeden Summanden einzeln mit $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Vor der Summe ergibt der Index n keinen Sinn!

14.04.2012, 18:01

barracuda317

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OKay, jetzt macht das alles wieder mehr Sinn smile

smile

. Ich notierte mal wie ich es nun aufschreiben würde:

Zu zeigen ist,

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 2}^\infty a_n \iff \sum_{n = 2}^\infty b_n \end{eqnarray*}$

Zunächst zeigen wir

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 2}^\infty a_n \Rightarrow \sum_{n = 2}^\infty b_n \end{eqnarray*}$

Da laut Vorraussetzung gilt, dass der Quotienten der Folgen $\begin{eqnarray*} a_n, b_n \end{eqnarray*}$ im Unendlichen gegen konvergiert, können wir jeden Summanden der Folge damit multiplizieren. Es gilt also.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 2}^\infty a_n \Rightarrow \sum_{n = 2}^\infty \frac{a_n}{b_n}b_n \end{eqnarray*}$

Was wiederum folgendem entspricht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 2}^\infty a_n \Rightarrow \sum_{n = 2}^\infty a_n \end{eqnarray*}$

Was offensichtlich eine wahre Aussage ergibt.

Analog dazu verfahren wir mit der Rückrichtung.

War das so von dir gedacht?

14.04.2012, 18:19

Che Netzer

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Nein, das ist Unsinn.

Du gehst nur davon aus, dass die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann multiplizierst du die Summanden mit dem richtigen Faktor und sagst dazu noch, dass das nichts an der Konvergenz ändert. Danach solltest du die Konvergenz der Reihe über die $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ haben.
Umgekehrt analog.

Solche Schreibweisen wie
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n\Leftrightarrow\sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$
ergeben allerdings keinen Sinn!

14.04.2012, 18:22

barracuda317

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Achso, du multiplizierst quasi die Summanden auf der linke Seite und kommst dann zum Ausdruck:

Reihe über b_n ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe über b_n ist konvergent?

14.04.2012, 18:33

Che Netzer

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Dazu könnte man auch ohne große Überlegungen kommen.
Wenn du links das b_n durch ein a_n ersetzt, ist es aber das, was ich meine.

14.04.2012, 21:06

barracuda317

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Ich probiere es nochmal ausführlich, da ich glaube dass ich es einfach nur schlecht und falsch aufschreibe.

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Da durch $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$ ein Verhalten im Unendlichen gegeben ist, können wir ohne die Konvergenz zu ändern, jeden Summanden der Reihe mit $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Wir schreiben also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{a_n} a_n \end{eqnarray*}$

Durch die Multiplikation jedes Summanden mit dem gegen 1 gehenden Wert ändert sich an der Konfergenz nichts. Kürzen wir den Ausdruck, so erhalten wir daraus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$

Damit gilt wie zu zeigen war:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent

ich hoffe nun passt es smile

smile

14.04.2012, 21:11

Che Netzer

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Du musst natürlich mit $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, sonst wird es mit dem Kürzen schwierig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ah, hast du schon verbessert.

14.04.2012, 22:22

barracuda317

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Ja den Fehler habe ich korrigiere, war Copy-Paste hatte wieder gewütet Big Laugh

Big Laugh

.

Nun ist es also endlich korrekt. Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast smile

smile

14.04.2012, 22:51

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von barracuda317

Wir schreiben also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{a_n} a_n \end{eqnarray*}$

Durch die Multiplikation jedes Summanden mit dem gegen 1 gehenden Wert ändert sich an der Konfergenz nichts.

Und wo ist die Begründung dieser Aussage???

16.04.2012, 14:02

barracuda317

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hmm, schon richtig, ich unterstelle das einfach mal.

Geht das nicht aus der Voraussetzung für den lim des Quotienten = 1 hervor?

17.04.2012, 11:08

HAL 9000

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Gastmathematiker hat Recht: Du musst deine "schwammige" Begründung mathematisch solide untersetzen, etwa so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} 1-\varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < 1+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Das gilt also auch für die spezielle Wahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt ein solches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < \frac{a_n}{b_n} < \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Und anschließend dann mal in Richtung Majorantenkriterium nachdenken...

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