Sigmafunktion?

14.04.2012, 15:55

Sigmaster

Sigmafunktion?

eine kleine Frage. In einer Aufgabe wird von mir verlangt das ich bestimme wieviele Elemente $\begin{eqnarray*} \sigma (B_{1},...,B_{n}) \end{eqnarray*}$ enthält. $\begin{eqnarray*} B_{1},...,B_{n} \end{eqnarray*}$ sind hierbei disjunkte Teilmengen einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Mir ist allerdings nicht klar was : $\begin{eqnarray*} \sigma (B_{1},...,B_{n}) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Wir haben über Sigma-Algebren gesprochen etc. Aber das Skript gibt keinen Aufschluss. Ist das irgendeine geläufige Notation die sich schon Ewigkeiten vor mir versteckt?

19.04.2012, 08:24

Venus²

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RE: Sigmafunktion?
$\begin{eqnarray*} \sigma (B_{1},...,B_{n}) \end{eqnarray*}$ ist die kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, die $\begin{eqnarray*} B_{1}, \cdots, B_{n} \end{eqnarray*}$ enthält.

21.04.2012, 17:20

Sigmaster

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RE: Sigmafunktion?
Vielen Dank für die Hilfe.

Kann ich für jede Menge von Ereignissen $\begin{eqnarray*} \left\{B_1,B_2,...,B_n\right\} \end{eqnarray*}$ sagen:

$\begin{eqnarray*} \sigma(B_1,B_2,..,B_n) = \left\{B_1^{\epsilon_1} \cup B_2^{\epsilon_2} \cup ... \cup B_n^{\epsilon_n}|\forall i \in \left\{1,..,n \right\} \epsilon_i \in \left\{0,1\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

21.04.2012, 18:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sigmaster
Kann ich für jede Menge von Ereignissen $\begin{eqnarray*} \left\{B_1,B_2,...,B_n\right\} \end{eqnarray*}$ sagen:

$\begin{eqnarray*} \sigma(B_1,B_2,..,B_n) = \left\{B_1^{\epsilon_1} \cup B_2^{\epsilon_2} \cup ... \cup B_n^{\epsilon_n}|\forall i \in \left\{1,..,n \right\} \epsilon_i \in \left\{0,1\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nur dann, wenn neben der

(1) Disjunktheit von $\begin{eqnarray*} B_1,\ldots,B_n \end{eqnarray*}$

auch noch folgendes gilt:

(2) Alle $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ sind nichtleer,

(3) $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^n B_i = \Omega \end{eqnarray*}$ .

In dem Fall hat die Sigma-Algebra dann $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elemente. Gilt nur (1) und (2), aber nicht (3) , dann kann man gedanklich eine entsprechende nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} B_{n+1} = \Omega\setminus\left( \bigcup\limits_{i=1}^n B_i \right) \end{eqnarray*}$ ergänzen und hat dann eine Sigma-Algebra mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ Elementen.

EDIT: Deine "Potenzdarstellung" $\begin{eqnarray*} B^{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist eher unüblich, aber ich habe sie mal stillschweigend in deinem Sinne als

$\begin{eqnarray*} B^{\epsilon} = \begin{cases} \emptyset & \;\mbox{für}\; \epsilon=0 \\ B & \;\mbox{für}\; \epsilon=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

aufgefasst. Augenzwinkern

22.04.2012, 12:36

Sigmaster

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Achso. Scheint mir sehr sinnig. Mal eine 'praktische' Beispielsituation:

Wir haben 10 Sportler. Es sollen zwei zufällige Startreihenfolgen dieser Sportler erstellt werden. Es soll das kleinste Ereignisfeld über die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ = "Sportler i steht in beiden Reihenfolgen an erster Position" gebildet werden.

Das wäre dann doch der Fall das (1) und (2), aber nicht (3) erfüllt sind?
Also hätten wir $\begin{eqnarray*} 2^{11} \end{eqnarray*}$ Elemente in der minimalen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra?

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