Polynome

14.04.2012, 15:59	florajoy	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome Meine Frage: Ersteinmal "Hallo" an alle. Ich bin noch neu hier und hoffe ihr könnt mir helfen. 1.) für $\begin{eqnarray} z \in\mathbb R \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} g_m(x,z)= x^{m-1} + x^{m-2} + ... + z^{m-1} \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} x^m-z^m=(x-z) g_m(x,z) \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0 \in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ nun soll ich $\begin{eqnarray} (x-z)\sum\limits_{i=1}^n a_i g_i(x,z) \end{eqnarray}$ berechnen. 2.) Seien $\begin{eqnarray} f(x),g(x) \in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f(b)\neq 0,g(b)\neq 0 \end{eqnarray}$ gelte Voraussetzung ist, für alle $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a-b)^m f(a)=(a-b)^n g(a) \end{eqnarray}$ zu zeigen ist: m=n Meine Ideen: Also ich versuche es mal aus dem Gegebenen etwas heruaszubekommen. zu 1.) wenn $\begin{eqnarray} x^m-z^m=(x-z)* g_m(x,z) \end{eqnarray}$ ist könnte man es ja so zusammenfassen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_i (x^m-z^m) \end{eqnarray}$ und das x würde sich doch aufheben durch f(x) oder? so ungefähr: $\begin{eqnarray} =(a_n+a_{n-1}+...+a_0)z^m \end{eqnarray*}$ aber so wirklich kann ich mir grad nichts darunter vorstellen :/ zu 2.) Das ist mir eigentlich schon relativ klar, nur weiß ich nicht, wie es zeigen soll. Könnte man denn eifach sagen, dass wenn m=n gilt es ja nur auf f(a) und g(a) ankommt? ich danke euch schon mal für eure Bemühungen
14.04.2012, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Hier scheint deine Definition von $\begin{eqnarray} g_m(x,z) \end{eqnarray}$ falsch zu sein. Das muss vermutlich $\begin{eqnarray} g_m(x,z)=x^{m-1}+x^{m-2}z+...+z^{m-1} \end{eqnarray}$ heißen. Für ein Polynom f musst d dann nur noch rechnen. 2.) Das hat bestimmt etwas mit der endlichen Anzahl von Nullstellen zu tun (siehe Fundamentalsatz der (klassischen) Algebra) . Ganz schlau werde ich aus deiner Aufgabenstellung leider nicht. Sind m und n vielleicht die Grade von f und g ?
14.04.2012, 19:04	florajoy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, lieben Dank. 1.) Du hast recht, es sollte $\begin{eqnarray} g_m(x,z)=x^{m-1}+x^{m-2}z+...+z^{m-1} \end{eqnarray}$ heißen. Nur stehe ich leier grade ein bisschen auf dem Schlauch. Wie kann ich denn nun das Polynom berechenen? So in etwa? $\begin{eqnarray} (x-z) (a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0)(x^{m-1}+x^{m-2}z+...z{m-1}) \end{eqnarray}$ Tut mir leid, so richtig blicke ich noch nicht durch 2.) Ja genau richtig. Das ging aus der Aufgabenstellung nicht hervor und da wir zuvor Nullstellen behandelt hatten, dachte ich an etwas anderes. Das würde demnach heißen, ich müsste zeigen, dass wenn m=n gilt, $\begin{eqnarray} (a-b)^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a-b)^n \end{eqnarray}$ die gleiche Anzahl an Nullstellen haben oder? hm oder geht es noch anders? und nochaml lieben Dank für's antworten, ist mir nämlcih echt wichtig edit: und echtschuldigung für das viele editieren, so recht komme ich noch nicht klar mit latex
15.04.2012, 10:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Den Faktor $\begin{eqnarray} (x-z) \end{eqnarray}$ kannst du distributiv unter die Summe ziehen, dann ergibt sich so etwas wie der folgende Ausdruck, der wesentlich einfacher ist als das Polynom in den Polynomen $\begin{eqnarray} g_i(x,z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-z)\sum_{n=1}^n a_ig_i(x,z)=\sum_{i=1}^n a_i (x^i-z^i) \end{eqnarray}$ (Bitte nachrechnen, ob das so stimmt, ich habe mehr oder weniger "geraten" . ) 2.) ist trivial. Nimm an $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (x-b)^{m-n}f(x)=g(x) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt ein Widerspruch zur Voraussetzung.
15.04.2012, 17:32	florajoy	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) ok danke dass hat mir schonmal geholfen 2.) mh ja schade, so richtig scheine ich es auch nicht verstanden zu haben. aber abwarten, vielleicht werde ich morgen aufgeklärt. lieben Dank
15.04.2012, 17:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe den Beitrag zu 2.) soeben editiert. Mir ist jetzt alles klar.
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15.04.2012, 19:01	florajoy	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt jetzt wo du es sagst, klingt es einleuchtend. super ich werd bestimmt öfter nochmal fragen haben. schön wenn einem hier so geholfen wird
16.04.2012, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht bei meiner Hilfe; ich gebe immer nur Hinweise, aber nie die ganze Lösung. Wo genau der "Widerspruch zur Voraussetzung" ist, musst du selbst herausfinden. Zur Kontrolle wäre es dann sinnvoll, wenn du sagst, was du herausgefunden hast ... so läuft das "Spiel". Außerdem musst du nachdenken, wieso, weshalb und warum ich a durch x ersetzen darf.

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