Konvergenz einer Reihe

14.04.2012, 16:01

martin05

Konvergenz einer Reihe

Hallo Leute,

bitte helft mir bei dieser Aufgabe, ich komm leider mehr weiter.

Es geht um eine Reihe, die auf Konvergenz überprüft werden muss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k!}{k^k} \end{eqnarray*}$

Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} k^k \end{eqnarray*}$ sich schneller entwickelt als die Fakultät von
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .
Aber wie gehe ich da jetzt am besten vor?
Habe es mit dem Quotientenkriterium versucht, jedoch ohne Erfolg...

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{k+1!}{k+1^(k+1)} }{\frac{k!}{k^k} } \end{eqnarray*}$
und das ist ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1*k^k}{(k+1)^(k+1)} \end{eqnarray*}$

Bitte helft mir weiter... verwirrt

LG
Martin

14.04.2012, 16:20

Mulder

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RE: Konvergenz einer Reihe
Zunächst mal fehlt es an einigen Stellen an Klammersetzung! Bitte darauf achten.

Ansonsten kannst du da jetzt noch in Zähler und Nenner einmal (k+1) wegkürzen und dann steht da eigentlich ein bekannter Grenzwert. Denk mal an die e-Funktion, bzw. wie man die Eulerzahl als Grenzwert einer Folge darstellen kann. Augenzwinkern

Und die Exponenten in geschweifte Klammern setzen: (k+1)^{k+1}

14.04.2012, 16:27

martin05

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Die Eulersch'e Zahl ist ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

und ich hab

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k^k}{(k+1)^k} \end{eqnarray*}$

das müsste passen... oder?
viel mehr kann ich da aber nicht mehr kürzen

14.04.2012, 16:28

martin05

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ahh jetzt hab ichs Tanzen

14.04.2012, 16:29

Mulder

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Das passt doch überhaupt nicht zu unserer Situation. Wir sind beim Quotientenkriterium und untersuchen

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \end{eqnarray*}$

Da sehe ich nirgends eine Reihe. Ich meinte eigentlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{k} \right )^k = e^x \end{eqnarray*}$

Das hilft dir hier weiter.

14.04.2012, 16:49

martin05

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so, den Beitrag hab ich jetzt etwas zu oft editiert...

Das kommt raus, wenn man die hier rautkürzt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (1-\frac{1}{k+1})^k \end{eqnarray*}$

14.04.2012, 16:53

Mulder

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Ja, wobei man jetzt noch den Schönheitsfehler hat, dass in der Klammer im Nenner k+1 steht und im Exponenten "nur" k. Wirkt sich nicht aus, wie man sich schnell klar machen kann, aber zur Sicherheit würde ich das beheben. Kann man z.B., indem man erweitert:

$\begin{eqnarray*} \left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )^k = \frac{\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )^{k+1}}{\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )} \end{eqnarray*}$

Was ist nun der Grenzwert? Und das Fazit insgesamt?

Edit: Deine Edits habe ich nun verpasst. Bedenke, dass nicht x gegen unendlich läuft, sondern k. Wahrscheinlich aber nur ein Copy&Paste-Fehler aus dem Formeleditor...

14.04.2012, 17:05

martin05

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!!! $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ !!!

14.04.2012, 17:07

Mulder

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Also? Konvergiert die Reihe oder divergiert sie?

14.04.2012, 17:12

martin05

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na sie konvergiert zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

14.04.2012, 17:14

Mulder

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Nur der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet nicht, dass auch die Reihe gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ konvergiert!

14.04.2012, 17:22

martin05

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ach ja... ich Depp...
Das heißt, dass die Reihe NICHT konvergiert, da die Folge keine Nullfolge ist?

14.04.2012, 18:05

Mulder

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Natürlich konvergiert die Reihe.

Das Quotientenkriterium besagt doch gerade, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum{a_k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn es ein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \bigg \vert \frac{a_{k+1}}{a_k} \bigg \vert \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

Ein solches $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ haben wir gefunden, nämlich eben $\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

Also konvergiert die Reihe. Wir wissen aber nicht, was der Wert der Reihe ist, der hat mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ nämlich nichts zu tun.

Das hatte ich von dir hören wollen, weil ich den Eindruck hatte, dass du so einiges durcheinander wirfst.

14.04.2012, 18:58

martin05

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vielen Dank für deine Mühen Mulder smile

Ich hatte das Quotientenkriterium zwar hergenommen aber falsch angewendet.

Also wenn ich meine Aufgabe noch mal zusammenfassen darf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k!}{k^{k} } \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1} } }{\frac{k!}{k^{k} } } \end{eqnarray*}$

Kürzen (mit dem Hintergedanken,dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k%20\to%20\infty}%20\left%20(%201+%20\frac{x}{k}%20\right%20)^k%20=%20e^x \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)^k%20=%20\frac{\left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)^{k+1}}{\left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)} \end{eqnarray*}$

und das ist $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

und weil $\begin{eqnarray*} e^{-1} < 1 \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert die Reihe.

14.04.2012, 19:50

Mulder

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Zitat:

Original von martin05
$\begin{eqnarray*} \left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)^k%20=%20\frac{\left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)^{k+1}}{\left%20(%201-\frac{1}{k+1}%20\right%20)} \end{eqnarray*}$

und das ist $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

und weil $\begin{eqnarray*} e^{-1} < 1 \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert die Reihe.

Wohlgemerkt, der Grenzwert von diesem Bruch ist e^(-1). Den Limes hatte ich da aus Faulheit weggelassen. Ansonsten stimmt das, ja.

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