Multivariante Folgen, große Verwirrung

14.04.2012, 16:06

barracuda317

Multivariante Folgen, große Verwirrung

Dieses Übungsblatt treibt mich wirklich in den Wahnsinn. unglücklich

Meine Erste naive Idee, war die b) einfach mit den Grenzwertsätze zu lösen und alle Nullfolgen einzeln zu addiere, was natürlich falsch zu sein scheint.

Ich kriege leider überhaupt keinen Ansatz zu dieser Aufgabe.

15.04.2012, 17:22

barracuda317

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Von euch auch keiner eine Ahnung? unglücklich

15.04.2012, 17:38

HAL 9000

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(a) Zunächst mal kann man den gemeinsamen Faktor $\begin{eqnarray*} (x_n+y_n) \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner kürzen, es verbleibt

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{x_ny_n}{x_n^2-x_ny_n+y_n^2} \end{eqnarray*}$ .

Für mich wäre es dann naheliegend, mal zu schauen, was im Fall $\begin{eqnarray*} x_n =\lambda y_n \end{eqnarray*}$ passiert...

------------------------------------------------------------

(b) ist noch leichter, wenn man über die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} |b_n| \leq \underbrace{\left| \frac{x_n^2}{x_n^2+y_n^2} \right|}_{\leq 1} \cdot |y_n| + \underbrace{\left| \frac{y_n^2}{x_n^2+y_n^2} \right|}_{\leq 1} \cdot |x_n| \leq |x_n| + |y_n| \end{eqnarray*}$

geht.

15.04.2012, 19:10

Totto-GE

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@HAL
2000 Worte ... Wink

Original (vor dem Kürzen)
[attach]23988[/attach]

Nach dem Kürzen
[attach]23989[/attach]

Hab ich da nicht mit dem Kürzen die Beliebigkeit von $\begin{eqnarray*} \lim a_n = a \end{eqnarray*}$ verspielt ??!

15.04.2012, 19:18

HAL 9000

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Netter Versuch: Das einzige, was man mit dem Kürzen "verspielt", ist der Fall $\begin{eqnarray*} x_n=-y_n \end{eqnarray*}$ , und in dem Fall ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sowieso undefiniert.

Traue mal lieber der Mathematik statt einem Plotter, der im Fall undefinierter Stellen Blödsinn macht. Augenzwinkern

EDIT: Zum wiederholten Male nichts als Schweigen aus Richtung Totto-GE. Ich sehe das mal an als Einsicht der eigenen Fehler bzw. Fehlinterpretationen.

15.04.2012, 21:37

Totto-GE

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Ooooch, es war nur eine Frage. Immerhin geben mir die Bildchen die Richtung vor, aus der ich $\begin{eqnarray*} \lim a_n = a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (beliebig) nachweisen kann. Hingegen passiert nach dem Tipp $\begin{eqnarray*} x_n=\lambda y_n \end{eqnarray*}$ nur die Erkenntnis $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{eqnarray*}$ , nicht jedoch $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.

Insofern warte ich schweigend auf Zielführendes, na klar.
Wiederholt ? - O.K. seit 2 Stunden.
Fehler ? Die Frage war ein Fehler ? - Hmmmm. - O.K.

Wie gehts weiter ?

16.04.2012, 00:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Totto-GE
Hingegen passiert nach dem Tipp $\begin{eqnarray*} x_n=\lambda y_n \end{eqnarray*}$ nur die Erkenntnis $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{eqnarray*}$ , nicht jedoch $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.

Es wird auch nur für $\begin{eqnarray*} a\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gefordert - nochmal der Tipp: Aufgabenstellung richtig lesen!

Und mehr als $\begin{eqnarray*} a\in \left[-\frac{1}{3},1\right] \end{eqnarray*}$ wäre auch tatsächlich nicht drin.

16.04.2012, 00:15

Totto-GE

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Ok, entschuldigung. Mein Fehler.

16.04.2012, 12:59

barracuda317

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Zunächst vielen Dank, dass ihr euch mit der Aufgabe beschäftigt.

Ich notiere nachfolgend meinen Rechenweg für $\begin{eqnarray*} x_n = \lambda y_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda y_n y_n}{(\lambda y_n)^2 - \lambda y_n y_n +y_n^2}= \frac{\lambda y_n^2}{\lambda^2 y_n^2 - \lambda y_n^2 +y_n^2}= \frac{ y_n^2 \lambda}{y_n^2(\lambda^2 - \lambda +1)} = \frac{\lambda}{\lambda^2 - \lambda +1}= \frac{1}{\lambda -1 + \frac{1}{\lambda}} \end{eqnarray*}$

Würde daraus folgen, dass wir nach diesem Schritt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als konstante Folge abhängig vom $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ betrachten? Und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ außer denen, bei denen man durch 0 teilen würde, liegen die Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \le a \le 1 \end{eqnarray*}$ ?

16.04.2012, 14:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von barracuda317
Würde daraus folgen, dass wir nach diesem Schritt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als konstante Folge abhängig vom $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ betrachten?

So ist es, denn Grenzwertbetrachtungen bei konstanten Folgen sind die angenehmsten - warum auch kompliziert, wenn es einfach geht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von barracuda317
Und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ außer denen, bei denen man durch 0 teilen würde, liegen die Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \le a \le 1 \end{eqnarray*}$ ?

Genauer gesagt $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} < a \le 1 \end{eqnarray*}$ , denn zu $\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ würde der Wert $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ gehören, und das ist aber leider der "verbotene" Kürzungsfall $\begin{eqnarray*} x_n=-y_n \end{eqnarray*}$ .

Aber auch im Fall Grenzwert $\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ lässt sich eine, dann aber nichtkonstante Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ basteln: Hier nehmen wir einfach $\begin{eqnarray*} x_n = -\left(1+\frac{1}{n}\right)y_n \end{eqnarray*}$ ... aber das ist alles schon Kür, und ist für die Original-Aufgabenstellung mit $\begin{eqnarray*} a\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gar nicht nötig. smile

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