Integral, Existenz

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14.04.2012, 17:12	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral, Existenz Konstante a >=0, b<0 $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! t^a e^{1/2 bt} \, dt \end{eqnarray*}$ Wie ist die Erklärung dazu, dass das Integral existiert? Weil ich brauch die Existenz des Integrals für eine Übung. Ich vermute nach ansehen versch. Grapen, dass das Integral existiert, aber hab keine einleuchtende Erklärung dafür
14.04.2012, 17:27	Gerald37	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral, Existenz Hallöle. Also erstens, die Anschauung aus dem Gymnasium bitte nciht mehr verwenden. Zum Problem. Das ist offensichtlich ein uneigentliches Integral. Du musst jetzt wissen, was das im Grunde ist. Streng genommen ist es ein Grenzwert eines eigentlichen Integrals mit R als obere Grenze.
14.04.2012, 17:41	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja- $\begin{eqnarray} \int \! t^a e^{1/2 bt} \, dt = \frac{t^{a+1}}{a+1} * e^{1/2 bt} + t^{a} e^{1/2 * bt} 2/t \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich 2 Probleme. Einerseits in 0, da ich durch 0 dividieren würde und bei unendlich. $\begin{eqnarray} lim_{R->\infty} \frac{R^{a+1}}{a+1} e^{Rt} + R^{a} * e^{1/2 * bR} 2/R - lim_{\epsilon->0} ( \frac{\epsilon^{a+1}}{a+1} * e^{b\epsilon} + \epsilon^{a} e^{1/2 * b+0} 2/\epsilon) \end{eqnarray}$ Nun?
14.04.2012, 17:44	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier hilft die Fakultätsdefiniton weiter: $\begin{eqnarray} x! = \int_0^\infty \! t^x\cdot e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ LG
14.04.2012, 17:52	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist mir zwar noch nie untergekommen, aber nun gut. Was mache ich aber mit dem restlichen Exponent bei e und brauch ich gar nicht zu integrieren wie in meinen Beitrag zuvor?
14.04.2012, 18:25	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt erst mal nur, dass du für b=-2 die Fakultätsfunktion (von x) erhältst und damit das (uneigentliche) Integral existiert. Für b<-2 fällt mir auch nix besseres ein. Für b>=-2 hingegen bist du sicher. Edit: Deine Stammfunktion stimmt aber nicht. Ich bezweifle, dass sich eine geschlossene finden lässt.
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14.04.2012, 18:27	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Die frage ist ja nun wie ich weiter mache, denn das Integral ausrechnen hab ich oben schon gemacht weil über die Gammfunktion erhält man auch solch ein resultat
14.04.2012, 18:34	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufleitung ist so eine Art Prouktregel rückwärts, wobei das letzte "2/t" inkonsequent ist. Hab meinen vorigen Beitrag editiert. Eine geschlossene Stammfunktion ist hier fraglich. Die Gammafunktion ist ja nix weiter als (x-1)!
14.04.2012, 18:44	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
also tappen wir beide im Dunkeln? lg
14.04.2012, 19:02	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wolfram Alpha bringt für int(t^aexp(-b/2t),dt) --> a,b>0 die Stammfunktion $\begin{eqnarray} -2^{a+1} b^{-a-1} \ \Gamma(a+1, \frac{bt}{2}) +constant \end{eqnarray}$ Das Integral scheint aber generell zu existieren. Vllt haben ja andere noch Ideen... Edit Bestimmtes Integral mit Gamma-Funktion
14.04.2012, 19:35	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit elementaren Funktionen lässt sich die Stammfunktion nicht darstellen. Hattest du nicht schon hier danach gefragt? Alternativ kann man abschätzen gegen die e-Funktion. Denn mit dem Wissen, dass z.B. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-\frac{1}{4} bx}}{x^a}=\infty \end{eqnarray}$ gilt (notfalls c-malige Anwendung von L'Hospital, wobei c die kleinste natürliche Zahl größergleich a ist), heißt das, dass diese e-Funktion ab irgendeiner Stelle d strikt größer als x^a ist, was wiederum bedeutet: $\begin{eqnarray} \int\limits_d^{\infty} x^a \cdot e^{ \frac{1}{2} bx} \, \dd x \leq \int\limits_d^{\infty} e^{-\frac{1}{4}bx} \cdot e^{ \frac{1}{2} bx} \, \dd x \end{eqnarray}$ Letzteres kann man nun völlig elementar integrieren und dass $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{d} x^a \cdot e^{ \frac{1}{2} bx} \, \dd x \end{eqnarray}$ existiert, ist auch klar. Damit hat man alles beisammen.
15.04.2012, 01:23	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-\frac{1}{4} bx}}{x^a}=\infty \end{eqnarray}$ wieso geht das nicht auch gegen unendlich?? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-\frac{1}{2} bx}}{x^a}=\infty \end{eqnarray}$
15.04.2012, 01:28	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm? Tut's doch wohl. Hab ich irgendwo gegenteiliges behauptet? Ich seh leider grad nicht, worauf du hinaus möchtest...

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