Binominalkoeffizient, Beweis.

14.04.2012, 15:15	NeoLexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Binominalkoeffizient, Beweis. Habe folgendes Problem: Diese Formel $\begin{eqnarray} $0= \binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}+(-1)^{n}\binom{n}{n} $ \end{eqnarray}$ soll bewiesen werden. Aber soweit ich das erkennen kann, gilt die doch nur für n als ungerade Zahl oder übersehe ich da etwas?
14.04.2012, 15:16	FCL	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn es nur für ungerade Zahlen gelten soll, dann kannst du ja mal eine gerade einsetzen und schauen, was rauskommt!
14.04.2012, 15:24	NeoLexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir bisher folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} $0=(-1)^{0} \binom{n}{0}+(-1)^{1}\binom{n}{1}+(-1)^{2}\binom{n}{2}-...+(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}+(-1)^{n}\binom{n}{n} $ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $ 0=(\frac{n!}{0!(n-0)!})(-1)^0+(\frac{n!}{1!(n-1)!})(-1)^1 +(\frac{n!}{2!(n-2)!})(-1)^2+...+(\frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!})(-1)^{n-1}+(\frac{n!}{n!(n-n)!})(-1)^{n}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $ 0=(\frac{n!}{0!(n-0)!})(-1)^0+(\frac{n!}{n!(n-n)!})(-1)^{n} +(\frac{n!}{1!(n-1)!})(-1)^1+ (\frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!})(-1)^{n-1} +(\frac{n!}{2!(n-2)!})(-1)^2+(\frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!})(-1)^{n-2} +...$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $ 0=\frac{n!}{n!}(-1)^0+\frac{n!}{n!}(-1)^{n} +\frac{n!}{1!(n-1)!}(-1)^1+ \frac{n!}{1!(n-1)!}(-1)^{n-1} +\frac{n!}{2!(n-2)!}(-1)^2+\frac{n!}{2!(n-2)!}(-1)^{n-2} +...$ \end{eqnarray}$ Substitution $\begin{eqnarray} $\frac{n!}{n!}=a_0,\frac{n!}{1!(n-1)!}=a_1,\frac{n!}{2!(n-2)!}=a_2, ... ,\frac{n!}{b!(n-b)!}=a_b$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $ 0=a_0(-1)^0+a_0(-1)^{n} +a_1(-1)^1+ a_1(-1)^{n-1} +a_2(-1)^2+a_2(-1)^{n-2} +...$ \end{eqnarray}$ ... und wenn ich für n etwas gerades einesetze bleibt doch ein Term über oder nicht?
14.04.2012, 15:26	FCL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gott, machs dir nicht so kompliziert, setz doch einfach was gerades ein und schau was passiert!!!
14.04.2012, 15:33	NeoLexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach mist. Okay, nochmal nachdenken...
14.04.2012, 15:39	FCL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach das mal
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