nichtlineare DGL --> eindeutige Lösung

14.04.2012, 17:16	La_Lia	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineare DGL --> eindeutige Lösung Meine Frage: Hey. Also ich bin gerade in der Türkei zum Studieren und habe beschlossen, nichtlineare Regelung zu hören (leider fehlen mir da ein paar Grundlagen) und jetzt muss ich das hier bis Montag machen: $\begin{eqnarray} \ddot{x} + \alpha(x,\dot{x}) \dot{x} + \beta (x) = u(t) \end{eqnarray}$ - alpha, beta stetig diffbar - u und erste Abl von alpha und beta bzgl aller ihrer Arg sind uniformly beschränkt - alpha >= 0 und z beta(z) >= 0 Zeige, dass es eine eindeutige Lösung für alle t>=0 gibt. Hilfe: Benutze das erste Integral des ungezwungenen (unforced) und ungedämpften Systems. Meine Ideen: Ich weiß gar nicht, was mir das erste Integral helfen soll... Wäre das (für alpha = 0 und u = 0): $\begin{eqnarray} \ddot{x} + \beta(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot{x} \dot{x} + \beta (x) \dot{x} = 0 \end{eqnarray}$ integriert $\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2} \dot{x}^2 + \int \beta (x) dx = C \end{eqnarray}$ und nu? Also, ich hab erstmal x1 = x und x2 = xpunkt gesetzt: $\begin{eqnarray} \dot{x}_1 = x_2 = f_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{x}_2 = - \alpha(x_1,x_2) x_2 - \beta(x_1) + u(t) = f_2 \end{eqnarray}$ und dann haben wir halt lauter Lemmas über Lipschitz-Stetigkeit und so zur Existenz eindeutiger Lösungen. Aber immer passt irgendwas nicht. Die partiellen Ableitungen sind alle beschränkt bis auf df2/dx2, da kommt alpha alleine drin vor (da weiß ich ja nicht, ob es beschränkt ist). Dann weiß ich nicht, ob f stetig ist, weil man das von u nicht weiß usw...

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