Vollständige Induktion Ungleichung/Summe

14.04.2012, 23:14

BeGraves

Vollständige Induktion Ungleichung/Summe

Hallo,

folgende 2 Aufgaben wo ich mal hilfe benötige.

1)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Fange mit dem IA an mit A(1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(1+1)!} = 1 - \frac{1}{(1+1)!} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also ist das schon mal wahr.

Nun ist der IS = n -> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}+ \frac{k+1}{((k+1)+1)!} =^{IV} 1 - \frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{((n+1)+1)!} \end{eqnarray*}$

Bin ich nun fertig? Weiter weiss ich nämlich nicht.

2)
$\begin{eqnarray*} 2^n \leq n! , n \geq 4 \end{eqnarray*}$

IA ; $\begin{eqnarray*} A(4) = 2^4 \leq 4! = 16 \leq 24 \end{eqnarray*}$
Stimmt also schon mal.

Nun IS = n -> n+1

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Wie mache ich hier jetzt weiter? Könnte das noch etwas umformen nach:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^{n} \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt vllt ersetzen? Ich weiß ja das $\begin{eqnarray*} 2^n \leq n! \end{eqnarray*}$ ist. Also
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot n! \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich nicht?^^
Wobei die eine Probe mit 4

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\cdot4! \leq (4+1)!<br /> 2\cdot24 \leq (5)!<br /> 48 \leq 120 \end{eqnarray*}$

hätte recht.

Hier noch ne Nebenfrage zu 2 anderen kleinen Aufgaben die nichts mit Induktion zutun haben.

Aufgabe: Man soll die Ausdrücke mit Hilfe von Summen/Produktzeichen schreiben.

$\begin{eqnarray*} A_n = 5^3+12^3+19^3+...+(7n-2)^3 \end{eqnarray*}$

Das ist recht einfach das ist ja faktisch einfach nur:

$\begin{eqnarray*} A_n = \sum\limits_{n=1}^n (7n-2)^3 \end{eqnarray*}$

oder liege ich falsch?

Das 2. ist
$\begin{eqnarray*} A_n = 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 13 \cdot ... \cdot 508 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich leider keine Idee? Wie kommt man auf die Lösung von sowas?

Liebe Grüße und danke für jegliche Hilfe

15.04.2012, 00:15

Totto-GE

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(1) Nein, Du bist nicht fertig. - Die rechte Seite ist die (IV) und Du must noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} =^{IV} 1 - \frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{((n+1)+1)!} \overset{!}{=} 1-\frac{1}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$
Ich würde den Hauptnenner und eine geklammerte Differenz sehen wollen (!).

(2) ... Du hast den Induktionsbeweis grundsätzlich nicht verstanden ...

(IV) es gelte: $\begin{eqnarray*} 2^n \leq n! \end{eqnarray*}$
(IS) zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Ind.Beweis
Dabei macht man $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$ und nutzt (IV) aus ...,
dh. darf schreiben $\begin{eqnarray*} \leq 2 \cdot n! \end{eqnarray*}$
und will zu $\begin{eqnarray*} \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$
(mit einer Begründung)

15.04.2012, 00:27

Integralos

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Hallo,

Also,

Zu 1:
Dein Ansatz stimmt, allerdings gibt es Formfehler.

Du musst beispielsweise

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} +\frac{n+1}{(n+2)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

schreiben, da die Gleichung ja ausgeglichen sein muss und du nicht auf der einen Seite wahlweise ein k und auf der anderen Seite der Gleichung dafür ein n addieren kannst.

Da du an diesem Punkt nicht mehr weiter weißt (fertig bist du leider noch nicht): Versuche hier den Hauptnenner der Brüche zu finden beziehungsweise den Term so umzuformen, dass die selbe Formel wie in der Angabe dasteht, nur dass die n's im Vergleich dazu lediglich um 1 erhöht sind.

2)

Du könntest beispielsweise so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\leq (n+1)! \end{eqnarray*}$ somit gilt:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot2^n \leq n!\cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

Da würde deine Induktionsannahme drinnenstecken und du könntest sozusagen noch eine 2. Induktion starten.

Zu den anderen Aufgaben:

Die Summenformel ist zwar richtig, allerdings ist es formal nicht richtig hingeschrieben.

Du kannst in deiner Summenformel nicht dein n, also den Endwert gleich verbraten, sondern musst eine "Laufvariable" einführen (etwa vergleichbar mit einer for-Schleife im Quellcode, falls dir das was sagt)

Das würde dann so aussehen (ich hab hier i genommen, nicht mit der imaginären Einheit verwechseln ;-) ):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (7i-2)^3 \end{eqnarray*}$

Zum Produkt:

Ist eigentlich ähnlich zu behandeln wie eine Summe.

Finde zunächst eine allgemeine Formel. Dies ist hier nicht sonderlich schwer.

Dann schreibst du es (wieder mit "Laufvariable", nicht vergessen)
mit diesem Symbol anstatt dem großen Sigma:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n \end{eqnarray*}$

lg

15.04.2012, 00:30

Totto-GE

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Mache Dir klar, dass bei $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ unten der Zählindex steht, mit dem es beginnt und oben, wo es endet.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{k=n} \end{eqnarray*}$ oder kürzer $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ verlangt nach Termen in der Summe, die den ZählIndex haben, ergo $\begin{eqnarray*} (7{\color{red}k}-2)^3 \end{eqnarray*}$ . - Ansonsten o.k.

Für Produkte genauso: $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n} (\text{Term}) \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \text{Term} = 1,4,6,10,\cdots \end{eqnarray*}$ einfach ist, oder ??!

In beiden Fällen ist das Stichwort arithmetische Folge.

15.04.2012, 00:36

Totto-GE

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@Integralos

Starten wir für $\begin{eqnarray*} 2 \leq n+1 \end{eqnarray*}$ wirklich eine neue Induktion ??!

15.04.2012, 01:38

Integralos

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Formal gesehen eigentlich schon, aber es sieht ein blinder mit Krückstock, dass die Gleichung für jedes $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ stimmt, also insofern hast du recht, dass man da keine 2. Induktion braucht. :P

15.04.2012, 10:07

Valdas Ivanauskas

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung/Summe
(1) geht auch direkt per Teleskopsummenargument.

Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} \frac k{(k+1)!}=\frac{k+1-1}{(k+1)!}=\frac 1{k!}-\frac 1{(k+1)!}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum_{k=1}^n\frac k{(k+1)!}=\sum_{k=1}^n\left(\frac 1{k!}-\frac 1{(k+1)!}\right)=\sum_{k=1}^n\frac 1{k!}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac 1{k!}=1-\frac 1{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 15:49

BeGraves

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Hallo,

danke erst mal für die zahlreichen Antworten smile

Schnell zu den 2 Nebenaufgaben:

Natürlich das war mein Indexfehler beim Summenzeichen , richtig ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (7k-2)^3 \end{eqnarray*}$

Bei der Sache mit dem Produktzeichen habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{k=170} 1+(k-1)\cdot3 \end{eqnarray*}$
bzw wenn das auch geht nur

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{170} 1+(k-1)\cdot3 \end{eqnarray*}$
ist denke ich recht unelegant aber naja es funktioniert.

Zu den Induktionsaufgaben verwirrt

Also zu 1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

So IV das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ für A(n) gilt habe ich schon gezeigt mit IA.

Nun ist die Behauptung das es auch für A(n+1) gilt also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Bis hier hin leuchtet mir das alles vollkommen ein. Nun stehe ich jetzt echt auf dem Schlauch wie ich weiter machen soll , ich kann das jetzt noch mal umformen nach:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} = 1-\frac{(n+2)!+(n+1)(n+1)!}{(n+1)!(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Das bringt mir nur leider auch nichts.

Grüße

15.04.2012, 16:46

klarsoweit

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Hättest du (n+2)! = (n+2) * (n+1)! geschrieben, dann würdest du einen viel einfacheren Hauptnenner finden.

15.04.2012, 18:06

BeGraves

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Okay, dann könnte ich
aus
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(n+2)!+(n+1)(n+1)!}{(n+1)!(n+2)(n+1)!} = 1 - \frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)(n+1)!}{(n+1)!(n+2)(n+1)!} = 1 - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+1)!(n+2)} \end{eqnarray*}$
machen oder?
was dann =
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

hier ist jetzt i.was falsch ^^

16.04.2012, 09:21

klarsoweit

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Zum Nachdenken: warum habe ich wohl auf einen einfacheren Hauptnenner hingewiesen?

Schauen wir uns das nochmal an:

Zitat:

Original von BeGraves
Nun ist die Behauptung das es auch für A(n+1) gilt also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

und schreiben: $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2) \cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

Mit was muß man nun den 1. Bruch erweitern, um auf den Nenner des 2. Bruchs zu kommen?

20.04.2012, 21:15

BeGraves

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Ganz ehrlich? Komme ich doch auf das Gleiche oder nicht?

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{(n+1)}{(n+2)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{(n+1)}{(n+1)!\cdot (n+2)} = 1-\frac{(n+2)}{(n+1)!\cdot(n+2)} + \frac{(n+1)}{(n+1)!\cdot(n+2)} = 1 - \frac{(n+2)}{(n+2)!}+\frac{(n+1)}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Was auch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+2)!} = 1 - \frac{2n+3}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

ist.

Ändert doch auch nichts. Was mach ich falsch^^ Hammer

23.04.2012, 08:43

klarsoweit

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Dein Fehler liegt darin, daß du bei der Umformung zu

Zitat:

Original von BeGraves
Was auch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

ist.

die Vorzeichen nicht korrekt berücksichtigst.

Es ist: $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{(n+2)}{(n+2)!} + \frac{(n+1)}{(n+2)!} = 1 + \frac{(n+1) - (n+2)}{(n+2)!} = 1 + \frac{-1}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$ smile

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