monotone Folge

15.04.2012, 12:41

toni-im-stress

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monotone Folge

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage, wie finde ich $\begin{eqnarray*} n_{0}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass die Folge $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n = n_{0} \end{eqnarray*}$ monoton ist ?

für $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe es so durchgeführt in dem ich die folge so geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot [...] \cdot n }{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot [...] \cdot n} \end{eqnarray*}$

leider komme ich nicht weiter und ich weiß das $\begin{eqnarray*} n_0= 1 \end{eqnarray*}$ ist aber wie soll ich zeigen bzw beweisen ?

vielen Dank

MfG

15.04.2012, 12:59

tigerbine

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RE: monotone Folge
Verstehe deine Wortwahl nicht: Du sprichst von Folge und notierst einen Grenzwert.

Weiter ist mir nicht klar, wie du auf den Grenzwert 1 kommst. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{1} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{1\cdot 2}{2 \cdot 2} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3= \frac{1\cdot 2 \cdot 3 }{3 \cdot 3 \cdot 3} =\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_4 = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4 \cdot 4} =\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 13:09

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
Entschuldigung die Schreibweise. aber ich kann es nicht ändern du kannst das Wort "lim" einfach übersehen, denn im Formeleditor finde ich nichts passendes.

auf deine Frage kann ich leider nicht beantworten, denn ich habe leider keine Idee wie ich die Antwort formuliere.

Mfg

15.04.2012, 13:11

tigerbine

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RE: monotone Folge
Was willst du denn nun mit der Folge machen? Limes oder ob sie monoton ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2012, 13:17

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
also so wie es in der Frage steht. die frage habe wörtlich abgeschrieben.
ich denke man muss hier den Grenzwert finden. so das n_0 der Grenzwert ist.
???

MfG

15.04.2012, 13:20

tigerbine

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RE: monotone Folge
Und woher stammt $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$ ?

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15.04.2012, 13:26

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
n_0 ist das erste Folgenglied nehme ich mal an.
oder ?

mfg

15.04.2012, 13:28

tigerbine

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RE: monotone Folge
Tu mir einen gefallen, schreib die Angabe bitte noch einmal korrekt ab. Da die Folge in "a" definiert ist, macht $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ als erstes Folgenglied keinen Sinn.

Steht da nun was mit "limes", oder nicht?

Zitat:

denn im Formeleditor finde ich nichts passendes

Passend wofür?

15.04.2012, 13:39

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
3 Finden Sie die Zahl $\begin{eqnarray*} n_0 \in N \end{eqnarray*}$ , so dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a)^{\infty } _{n=n_{0} } \end{eqnarray*}$ monoton ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich die Aufgabe richtig geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg

15.04.2012, 13:44

tigerbine

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RE: monotone Folge
Ist die 0 bei Euch in N drin?

Ich verstehe es nun so, dass man den (ersten) Index nennen soll, ab dem die Folge monoton ist.

15.04.2012, 13:51

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
wurde nicht eingegeben aber nehme ich mal an ja das null auch mit ist, ist ja auch ein natürliche Zahl smile

smile

mfg

15.04.2012, 13:52

tigerbine

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RE: monotone Folge
Das ist eine "Streitfrage".

0!=1, also kann man das schon "eingeben". Die Folge wäre 0,1,0.5,....

So, nehmen wir n0=1. Warum ist die Folge dann monoton?

15.04.2012, 14:07

toni-im-stress

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RE: monotone Folge
ich denke 0 ist nicht mit drin denn 0!/0^0 ist ein fehler so können wir schon o ausschließen.

dann lautet untere folge 1,0.5,0.2,0.09,... ist also monoton fallende Folge.

wie kann ich das beweisen jetzt ? verwirrt

verwirrt

mfg

15.04.2012, 14:26

tigerbine

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RE: monotone Folge
Nenner und Zähler vertauscht. Sorry.

Ich habe die Fogle vorhin absichtlich so mit () geschrieben. Warum?

Tipp: SandwichLemma, Abschätzungen.

Muss nun weg. Wink

Wink

16.04.2012, 09:47

Valdas Ivanauskas

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RE: monotone Folge

Zitat:

Original von toni-im-stress
dann lautet untere folge 1,0.5,0.2,0.09,... ist also monoton fallende Folge.

wie kann ich das beweisen jetzt ? verwirrt

verwirrt

mfg

Z.B. indem Du aus einer offenbar wahren Aussage die zu zeigende Behauptung folgerst.

Etwa so:

$\begin{eqnarray*} \text{Für alle }n\in\mathbb N\text{ gilt: }(n+1)^n\geq n^n\Rightarrow \frac{(n+1)^n}{n!}\geq\frac{n^n}{n!}\Rightarrow\cdots\Rightarrow a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$

16.04.2012, 10:38

Mystic

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RE: monotone Folge

Zitat:

Original von toni-im-stress
ich denke 0 ist nicht mit drin denn 0!/0^0 ist ein fehler so können wir schon o ausschließen.

Huch, was ist denn das für ein Argument? geschockt

geschockt

Es ist natürlich ganz klar

$\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$

oder würdest du allen Ernstes behaupten wollen, der Wert eines Polynoms

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$

ist an der Stelle x=0, wo man ja dann diese Definition auch braucht, undefinert? verwirrt

verwirrt

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