Cauchy-Schwarz

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Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Schwarz
Meine Frage:


Hallo!

Ich bastel gerade an folgender Aufgabe:

Sei nEN. Beweisen Sie, dass für alle die Ungleichung von Cauchy-Schwarz

gilt.

Tipp: Es gibt einen Beweis der für allgemeine Skalarprodukte gilt, aber Vorsicht!

Meine Ideen:


meine Idee ist glaube zu simpel, weil ich nicht richtig weiß, was mir der Tipp helfen soll

wegen und folgt Mit

folgt

also

Roper Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz
Zitat:
Original von Arcus-sinus
wegen

Moment, x ist ein Vektor, richtig? Mit meinst du die Norm und mit ist das Skalarprodukt gemeint, oder?
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz
jaaa^^ deswegen dachte ich mir schon, dass meine Idee zu simpel ist....
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also so kommst du auf keinen Fall weiter. Hast du denn sonst keinen Ansatz?
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

nein leider nicht. Was ist denn der Beweis, der für allgemeine Skalarprodukte gilt?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Also du willst zeigen, dass gilt:
. Hierbei ist der normale Betrag, die vom Skalarprodukt induzierte Norm und das euklidische Skalarprodukt. Das ist äquivalent zu deiner Formulierung oben, nur mit wenig mehrdeutiger Syntax smile .
(Es ist übrigens egal ob es das euklidische Skalarprodukt ist, da der Beweis nur die Eigenschaften ausnutzt, welche jedes Skalaprodukt besitzt)

Zum Beweis:
Betrachte zuerst den Fall , was siehst du?
Betrachten wir nun den Fall und die Abschätzung:


Verstehst du diese Abschätzung? Wenn nein überleg' nochmal genau wie Skalarprodukt, Norm und Betrag definiert sind. Wenn du die Ungleichung verstanden hast, versuch sie so umzustellen und umzuformen, dass du die Behauptung erhälst.
 
 
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey smile

ohje.. also verstanden hab ich das leider nicht^^

Das Skalarprodukt ist definiert durch


die euklidische Norm durch:


und der Betrag durch:


wieso betrachte ich zuerst den Fall y=(0,..,0)^T ???
wie kommt man dann auf diese Abschätzung?

ich hab mich dennoch an die Umformung gewagt, wäre die so denn richtig?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Arcus-sinus
wieso betrachte ich zuerst den Fall y=(0,..,0)^T ???
wie kommt man dann auf diese Abschätzung?

Man betrachtet bei diesem Beweis zuerst den Fall gesondert, weil die Abschätzung ansonsten nicht funktionieren würde (Division durch 0). Wie man auf diese Abschätzung kommt? Da gibt es kein Patentrezept für. Abschätzen ist eigentlich mehr eine Kunst, die man nur perfektionieren kann, indem man sehr viel übt. In diesem Fall würde ich jetzt spontan sagen: die eigentliche Aussage hinschreiben, und dann so lange umformen bis man auf eine bereits bekannte Abschätzung kommt (also quasi das was ich oben geschrieben habe rückwärts).

Zitat:
Original von Arcus-sinus
ich hab mich dennoch an die Umformung gewagt, wäre die so denn richtig?

Hier musst du mir erklären was du meinst. Du lässt die Quadrate weg und macht das Skalaprodukt unär, das ergibt für mich keinen Sinn.

Weiterhin: Du solltest die Abschätzung aus meinem Post verstehen. Warum gilt ? Wieso gilt die Umformung von der ersten zur zweiten und von der zweiten zur Dritten Zeile? Wenn du das nicht verstehst solltest du nicht erst weiter umformen, sondern erst mal an dieser Baustelle halt machen.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

ich hab mir mein Skript nochmal mehrfach angeschaut, verstehe es leider aber immer noch nicht, sorry unglücklich

Zitat:
Hier musst du mir erklären was du meinst. Du lässt die Quadrate weg und macht das Skalaprodukt unär, das ergibt für mich keinen Sinn.

ich möchte ja auf meine Anfangsgleichung kommen, deswegen hab ich die Quadrate weggelassen... aber hab mir schon gedacht, dass ich da eventuell gegen ein paar Gesetze verstoße Big Laugh

warum betrachte ich den Fall y=(0,..,0)^T und nicht den Fall y=(0,..,0) ? verwirrt

Zitat:


hier hast du einfach nur die gleichung nach 0 umgestellt und im Nenner ein y dazu multipliziert oder?
aber wieso ist das dann 2mal?

es tut mir wirklich sehr leid, dass ich das nicht auf anhieb verstehe, weil du das echt sehr nett erklärst
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, gehen wir mal Schritt für Schritt durch. Die Abschätzung die wir betrachten hat erst einmal nichts mit der Aufgabe zu tun. Diese Abschätzung hier gillt allgemein. und sind zwei Vektoren, wobei ungleich dem Nullvektor ist. Also es gilt: . Ich fange also die Abschätzung mit etwas an, was auf jeden Fall wahr ist und forme sie dann so lange um, bis ich Cauchy-Schwarz zeigen kann. Also fange ich hiermit an:
Zitat:
Original von Arcus-sinus

Warum gilt diese Gleichung? Völlig unabhängig von dem was wir zeigen wollen: Warum ist die rechte Seite größer gleich Null?
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt, was man sieht wenn man die Gleichung umstellt:

?

oder?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es geht viel einfacher. Ein inneres Produkt/Skalarprodukt hat gewisse Eigenschaften, die du kennen solltest. Die wären:






Welche dieser Eigenschaften sagt dir jetzt, dass gilt:

?
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

die 4.?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Treffer smile . In dem Produkt steht zwei mal das selbe, also muss es größer gleich null sein. Ok, jetzt der nächste Schritt:



Jetzt mach' dir mal Gedanken darüber, welche Eigenschaften die Umformung von der ersten zur zweiten Zeile erlauben.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

hmm die 2. oder 3. vielleicht?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, kommt hin. Wenn du jetzt die Umformung verstehst kannst du ja mal anfangen
umzuformen, bis du die Behauptung erhälst Augenzwinkern
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

hey smile

beim Umformen komm ich wieder auf dasselbe wie beim letzten Mal...
wenn ich da die Eigenschaften verwende, komme ich irgendwie nicht weiter, ist das denn so komplett falsch?

[attach]24022[/attach]
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie bezweifle ich, dass dir der Unterschied zwischen der Norm und dem Betrag so wirklich klar ist verwirrt . Prinzipiell machst du vom Umformen her genau das Richtige, aber irgendwie vertauschst du manchmal die Striche, sodass es für mich da sehr schwer ist was nachzuvollziehen. Zum Beispiel behauptest du direkt am Anfang, dass gilt . Ich hoffe dir ist klar, dass das das nicht stimmt, sondern dass es auf der rechten Seite heißen muss. Den normalen Betrag auf einen Vektor anzuwenden macht nicht wirklich viel Sinn, da muss schon die Norm her Augenzwinkern . Für die restlichen Zeile gilt das selbe: Umformungen sicherlich richtig gemeint, aber das Vertauschen von und ist formal schlichtweg falsch.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir denn mal den "Musterlösungsweg" aufschreiben?
vom ganzen rumprobieren bin ich mittlerweile total verwirrt... Erstaunt1
Roper Auf diesen Beitrag antworten »



Rüberaddieren



Multiplizieren mit



Wenn du jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehst bist du schon fertig.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich glaub ich habs Big Laugh

aber 2 fragen hab ich noch:

warum betrachte ich den Fall y=(0,..,0)^T und nicht den Fall y=(0,..,0) ?

und wie komme ich von der 2. auf die 3. Zeile?

Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arcus-sinus
ok, ich glaub ich habs Big Laugh

aber 2 fragen hab ich noch:

warum betrachte ich den Fall y=(0,..,0)^T und nicht den Fall y=(0,..,0) ?

Das ist nur Notation. Wenn man von Vektoren redet müsste man streng genommen schreiben:

Da das aber recht platzverschwendend ist schreibt man dafür einfach . Das T steht hierbei für "transponiert". Bedeutet also wir kippen die Zeile einfach, damit wir eine Spalte haben (also einen Vektor).

Zitat:
Original von Arcus-sinus
und wie komme ich von der 2. auf die 3. Zeile?



Kleiner Tipp:
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

Soo, habe es jetzt nochmal "sauber" abgetippt. Wäre das denn jetzt so korrekt?

Beweis:

Für stimmt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz, da

Für gilt:














q.e.d.
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arcus-sinus

q.e.d.

Zum wiederholten male: Der Term macht absolut keinen Sinn und ist nicht definiert. Mach dir den Unterschied zwischen dem Absolutbetrag für reelle Zahlen und der Norm für Vektoren klar.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

aber das muss ich doch zeigen? :/
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ich habe dir am Anfang schon gesagt, dass ich dir gerne helfe, aber unter der Bedingung, dass wir syntaktisch wenig mehrdeutigere Symbole nutzen für Betrag und Norm.

ist der Absolutbetrag. Mit ist die Norm gemeint für Vektoren. Was du dann zeigen musst ist mit der neuen Syntax:



Das ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Die hast du auch in deinem Anfangsposting formuliert. Nur benutzt du für Norm und Betrag die gleiche Notation, was sehr verwirrend ist.

Es ist einfach nur eine andere Art das aufzuschreiben um für weniger Verwirrung zu sorgen, mehr nicht.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, ich find das alles noch sehr verwirrend Big Laugh

also füge ich das jetzt einfach als letzte Zeile ein und damit wäre ich dann fertig?
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arcus-sinus
tut mir leid, ich find das alles noch sehr verwirrend Big Laugh

Was ist daran verwirrend? du hast am Anfang geschrieben:
Zitat:
Original von Arcus-sinus
die euklidische Norm durch:


und der Betrag durch:

Du benutzt für Betrag und Norm die gleiche Notation, die gleichen Zeichen, nämlich . Ich habe lediglich eingeführt für die Norm zu schreiben. Ich hätte auch schreiben können oder was auch immer. Es ist einfach nur eine andere Schreibweise mehr nicht.
Ich denke auch, dass du nicht verwirrt bist, du bist einfach in der Hinsicht nur etwas beratungsresistent und willst mit so wenig Arbeit wie möglich irgendwie den Beweis zusammen kratzen. Eigentlich schade...
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja "mit so wenig Arbeit wie möglich irgendwie den Beweis zusammen kratzen" kann man das ja nicht unbedingt nennen, denn ich sitze ja schon seit Tagen an dem Beweis, so wenig wie möglich Arbeit wäre für mich copy&paste oder einfach abschreiben. Ich möchte es ja schon verstehen, aber abends nach der Uni kann ich auch nicht mehr so gut denken XD
und das Thema ist echt neu für mich...
also tut mir leid, wenn ich so rüber kam,
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Ich habe es ja auch lediglich als Vermutung geäußert, ob es wirklich der Fall ist kann ich ja nicht wissen. Augenzwinkern

Jedenfalls würde ich dir raten Skalarprodukt, Norm, Betrag und co. nochmal im Skript oder sonst irgendwo nachzulesen. Anscheinend hast du hier noch ein paar Verständnisprobleme, die du einfach beseitigen musst. Wenn du konkrete Fragen hast, kann ich die natürlich beantworten. Aber so kann ich nur raten welchen Schritt oder was genau du nicht verstehst, und das lässt sich hier im Forum per Ferndiagnose nur schwer beheben.
Arcus-sinus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass ist sehr sehr lieb smile
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