Offenheit einer Menge beweisen

15.04.2012, 18:32

Guest12345678

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Offenheit einer Menge beweisen

Ich möchte beweisen, dass $\begin{eqnarray*} M = \left\{(x, y) \in \mathbb R ^2| x \leq y\right\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Dazu müsste das Komplement mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash M = \left\{(x, y) \in \mathbb R ^2| x > y\right\} \end{eqnarray*}$ offen sein, also für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1) \end{eqnarray*}$ im Komplement ein Radius existieren, sodass darin alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_2, y_2) \end{eqnarray*}$ immer noch im Komplement liegen.
$\begin{eqnarray*} x_1 > y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2^2 + y_2^2 < \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt(2)} \end{eqnarray*}$ (<- hoffentlich der Abstand zur Identität)
Wie folgere ich jetzt, dass $\begin{eqnarray*} (x_2, y_2) \end{eqnarray*}$ immer noch im Komplement liegt, also $\begin{eqnarray*} x_2 > y_2 \end{eqnarray*}$ ?
Bonusfrage: Darf ich überhaupt die euklidische Norm verwenden, eventuell sogar beliebige Normen?

15.04.2012, 18:51

Spezies8472

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Wie wär´s mit: Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen sind offen (bzw. abgeschlossen)
Betrachte: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \to \mathbb R (x,y)\mapsto x-y \end{eqnarray*}$ (stetigkeit folgt aus der stetigkeit der addition)

Ich gehe bei dem ganzen davon aus dass du abgeschlossenheit in R² bzgl. der Standardtopologie zeigen sollst.

15.04.2012, 19:48

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472
Wie wär´s mit: Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen sind offen (bzw. abgeschlossen)
Betrachte: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \to \mathbb R (x,y)\mapsto x-y \end{eqnarray*}$ (stetigkeit folgt aus der stetigkeit der addition)

Diesen Satz haben wir leider noch nicht bewiesen.
Eventuell könnte ich noch zeigen, dass alle Folgen im Komplement dort auch ihre Grenzwerte haben, aber dieses Kriterium habe ich noch nie benutzt.
Eventuell hilft mir das weiter, aber ich hänge dann hier:

Der Abstand für die Komponenten lässt sich ja unter beliebige Epsilon drücken:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad\forall n \geq N : |x_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Aber wenn ich es richtig verstanden habe hängen diese Epsilons über den Index n zusammen, d.h. ich kann für $\begin{eqnarray*} x + \epsilon _1 > y + \epsilon _2 \end{eqnarray*}$ zwar $\begin{eqnarray*} \epsilon _1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon _2 \end{eqnarray*}$ sehr klein machen, aber wenn ich das mache ändert sich eventuell auch der Wert für das andere $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich käme bis hier:
$\begin{eqnarray*} \\<br /> |x_{n1} - x| < \epsilon _1\\<br /> |y_{n2} - y| < \epsilon _2\\<br /> n = max(n1, n2)\\<br /> \epsilon = min(\epsilon _1, \epsilon _2)\\<br /> |x_n - x| < \epsilon\\<br /> |y_n - y| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Aber um von dem auf irgendwas Schönes zu kommen fehlt mir die Kreativität verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Spezies8472Ich gehe bei dem ganzen davon aus dass du abgeschlossenheit in R² bzgl. der Standardtopologie zeigen sollst.

In R²: Ja
Bzgl. Standardtopologie: Dazu steht leider nichts in der Aufgabenstellung

15.04.2012, 20:23

Guest12345678

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Ich war noch was kreativer und mir ist aufgefallen, dass wenn:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = (x - y)/2\\<br /> x_n - x < 0\\<br /> y_n - y > 0\\<br /> |x_n - x| < \epsilon\\<br /> |y_n - y| < \epsilon\\<br /> \end{eqnarray*}$
folgt:
$\begin{eqnarray*} <br /> |x_n - x| + |y_n - y| < 2\epsilon\\<br /> |x_n - x| + |y_n - y| < 2*(x-y)/2\\<br /> - x_n + x + y_n - y < x - y\\<br /> - x_n + y_n < 0\\<br /> x_n > y_n<br /> \end{eqnarray*}$
Immerhin schonmal 1 von 4 Tanzen

Tanzen

Ist das bisher so richtig?

16.04.2012, 07:37

Guest12345678

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Och mist.
Ich merke gerade, dass ich jetzt gezeigt habe, dass das Komplement abgeschlossen ist.
Da muss wohl irgendwas schief gelaufen sein Hammer

Hammer

16.04.2012, 08:22

Spezies8472

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Zitat:

Da muss wohl irgendwas schief gelaufen sein

Ja z.B. verwendest du die falsche Definition. böse

böse

Dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad\forall n \geq N : |x_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist die Definition der Konvergenz gegen x. Und ein Beweis einer solchen Epsilontik-Definition beginnt immer mit:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ; das epsilon hängt auch defintiv nicht von n ab.
Außerdem: was soll hier x,y,x_n,y_n sein ? Und was hat das mit der Offenheit zu tun?

Vielleicht solltest du dich erstmal mit einfacheren Aufgaben zu dem Thema befassen.

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16.04.2012, 08:39

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472

Zitat:

Da muss wohl irgendwas schief gelaufen sein

Ja z.B. verwendest du die falsche Definition. böse

böse

Dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad\forall n \geq N : |x_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist die Definition der Konvergenz gegen x. Und ein Beweis einer solchen Epsilontik-Definition beginnt immer mit:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ; das epsilon hängt auch defintiv nicht von n ab.
Außerdem: was soll hier x,y,x_n,y_n sein ? Und was hat das mit der Offenheit zu tun?

Dann habe ich das wohl irgendwie verhunzt.
In etwa sollte das so aussehen:
Eine Folge konvergiert in R², wenn sie komponentenweise konvergiert.
und:
Eine Menge M in einem metrischen Raum R ist genau dann abgeschlossen, wenn:
Sei $\begin{eqnarray*} (f_n)_n mit n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Folge in M mit einem Grenzwert in R, dann liegt dieser Grenzwert in M.

Zitat:

Original von Spezies8472Vielleicht solltest du dich erstmal mit einfacheren Aufgaben zu dem Thema befassen.

"Ich konnte diese Aufgabe leider nicht lösen, also hier 1+1=2, ich hoffe ich kriege die Punkte trotzdem" Ja wenn das so einfach wäre... Big Laugh

Big Laugh

16.04.2012, 09:33

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472Vielleicht solltest du dich erstmal mit einfacheren Aufgaben zu dem Thema befassen.

Aber du hast natürlich recht. Ich versuch es mal im Eindimensionalen:
Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Folge in I = [0, 1], $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N | \forall n \geq N : | x_n - x | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Fallunterscheidung:
$\begin{eqnarray*} x_n - x > 0<br /> \Rightarrow x_n - x < \epsilon<br /> \Rightarrow x_n - \epsilon < x < x_n<br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x_n - x < 0<br /> \Rightarrow - x_n + x < \epsilon<br /> \Rightarrow x_n < x < x_n + \epsilon<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich wohl irgendwie auf $\begin{eqnarray*} x \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ kommen, eventuell indem ich das Epsilon als Minimum der Abstände zu den Rändern des Intervalls setze, aber wie weiter?

16.04.2012, 09:41

Spezies8472

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Was versuchst du denn da zu beweisen?

Nicht jede solche Folge

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Folge in I = [0, 1]

ist konvergent, z.B. falls gilt: $\begin{eqnarray*} x_{2k} =0 , x_{2k+1} , k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Und nochmal: Du kannst das Epsilon nicht gleich irgendwas setzen. Das Epsilon ist All-quantifiziert (Für alle Epsilon >0); die Aussage muss für jedes positive Epsilon gelten.

16.04.2012, 09:48

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472
Was versuchst du denn da zu beweisen?

Nicht jede solche Folge

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Folge in I = [0, 1]

ist konvergent, z.B. falls gilt: $\begin{eqnarray*} x_{2k} =0 , x_{2k+1} , k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Dann sei es eben eine Folge, die konvergiert.

Zitat:

Original von Spezies8472
Und nochmal: Du kannst das Epsilon nicht gleich irgendwas setzen. Das Epsilon ist All-quantifiziert (Für alle Epsilon >0); die Aussage muss für jedes positive Epsilon gelten.

Gut, dann weiß ich nichtmal ansatzweise weiter.

16.04.2012, 09:56

Spezies8472

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Zitat:

Dann sei es eben eine Folge, die konvergiert.

Gratuliere, damit würdest du "die Folge konvergiert, also konvergiert sie" zeigen.

Du scheinst massive Grundlagenprobleme zu haben. Die kennst grundlegende Definitionen und Techniken der Analysis I wie Offenheit einer Menge und Konvergenz einer Folge kaum. Du weißt nicht wie man eine Epsilontik beweist. Deswegen mein Rat: Schau dir die Anfänge der Analysis I nochmal genau an, bevor du dich auf schwierigeres Gebiet wagst.

16.04.2012, 10:15

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472

Zitat:

Dann sei es eben eine Folge, die konvergiert.

Gratuliere, damit würdest du "die Folge konvergiert, also konvergiert sie" zeigen.

Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Ich verwende diese Definition:
de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge#Eigenschaften
Also müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ . Ob die Folge konvergiert steht nicht zur Frage.

16.04.2012, 10:22

Spezies8472

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Eine Eigenschaft ist keine Definition, die steht etwas darüber in Wiki.

Und es steht in der ersten Zeile der Eigenschaft das Konvergenz nötig ist.

16.04.2012, 10:29

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472
Eine Eigenschaft ist keine Definition, die steht etwas darüber in Wiki.[/qoute]

Hast recht. Hier steht es als Definition (1 b) mathe.wikidot.com/offene-und-abgeschlossene-mengen

[quote]Original von Spezies8472Und es steht in der ersten Zeile der Eigenschaft das Konvergenz nötig ist.

Ich will zeigen, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge, die in I liegt, auch wieder in I liegt.
Ist konvergenz da nicht Vorraussetzung?

16.04.2012, 10:36

Spezies8472

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Dann schreib das doch auch.
Denn das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N | \forall n \geq N : | x_n - x | < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist die Def. von Konvergenz gegen x (was du als reelle Zahl, nicht explizit im interval angegeben hast)
und nicht das was du im letzten Post geschrieben hast.

Da ich keine Lust auf elementare Definitionen erklären hab verlasse ich diesen thread jetzt.

16.04.2012, 10:41

Guest12345678

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Zitat:

Original von Spezies8472Da ich keine Lust auf elementare Definitionen erklären hab verlasse ich diesen thread jetzt.

Danke soweit

16.04.2012, 12:13

Guest12345678

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Hab es jetzt über das offene Komplement gelöst, geht mit ner Menge Fallunterscheidungen ganz gut smile

smile

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