Satz vom primitiven Element

15.04.2012, 19:40

mattix

Satz vom primitiven Element

Meine Frage:
Hallo!
In einer Aufgabe soll ich das Folgende beweisen:
Wenn F ein algebraischer Zahlenkörper ist, dann existiert ein Element $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (a)=F \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Wie setze ich da am besten an? Mit einem Widerspruch oder lieber direkt ein solches Element finden und angeben?

15.04.2012, 19:57

Spezies8472

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*hust* das a ist garantiert keine rationale Zahl.
Die Antwort hängt stark davon ab was dir bereits bekannt ist. Mit dem Satz vom primitiven Element ist es z.B. ein Einzeiler. Ansonsten zeigen des wesentlichen Teils Satzes:
Es gibt ein primitives Element falls die Körpererweiterung nur endlich viele Zwischenkörper hat.

Und endliche Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nennt der Algebraiker gemeinhin Zahlkörper.

15.04.2012, 21:06

mattix

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Zitat:

Original von Spezies8472
*hust* das a ist garantiert keine rationale Zahl.

Ach herrje, natürlich hab ich mich da vertippt Hammer

Es sollte $\begin{eqnarray*} a \in F \end{eqnarray*}$ heißen.

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