Kreis: Wie vervielfacht sich A, wenn U sich verdoppelt?

15.04.2012, 19:59	Jan36	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis: Wie vervielfacht sich A, wenn U sich verdoppelt? Meine Frage: Hi, hier ist die Aufgabe: Wie vervielfacht sich die Fläche (A) eines Kreises mit dem Radius r, wenn der Umfang (U) des Kreises sich verdoppelt? Meine Frage ist, ob jemand auch ohne einen Taschenrechner die Antwort finden kann. Und wenn es jemand weiß, ob er so nett wäre mir den Lösungsweg schildern. Zur Erinnerung: $\begin{eqnarray} U=2\pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\pi r^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ohne Taschenrechner: [ergebnislos] Ich habe angefangen mit der Annahme, dass sich der Umfang verdoppelt: $\begin{eqnarray} U=2\pi r -> 2U= 2(2\pi r) <-> 2U= 4\pi r \end{eqnarray}$ Danach habe ich die Formel $\begin{eqnarray} 2U= 4\pi r \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ umgestellt, um sie in $\begin{eqnarray} A=\pi r^{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ einzusetzen, und dann solange "rum zuschieben" bis sich das gesuchte Vielfache erkenntlich macht. Diesen Ansatz habe ich verfolgt bis ich die nerven verlor... hat da jmd einen Hinweis? Keine Ahnung, ob das überhaupt der richtige Ansatz war... Mit Taschenrechner: [Ergebnis: A vervierfacht sich] Mit Taschenrechner ist es einfach zu bewerkstelligen. Man errechnet für jeweils zwei (Test-)Kreise den Umfang, wobei man z.B. für den ersten Kreis $\begin{eqnarray} r= 2 \end{eqnarray}$ wählt und für den zweiten $\begin{eqnarray} r= 4 \end{eqnarray}$ . Diese beiden Radien setzt man in $\begin{eqnarray} U=2\pi r. \end{eqnarray}$ Man stellt eine Verdopplung des Umfangs fest (U2/U1=2). Die Prämisse aus der Aufgabenstellung ist somit erfüllt. Im zweiten Schritt setzt man in die Flächenformel $\begin{eqnarray} A=\pi r^{2} \end{eqnarray}$ die Radien aus dem vorigen Schritt ein (r=2, r=4). Die Ergebnisse A1 und A2 teilt man durcheinander und erhält das gesuchte Vielfache (A2/A1=4). Das Ergebnis durch Testwerte: Der Flächeninhalt vervierfacht sich, wenn der Umfang sich verdoppelt.)
15.04.2012, 20:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise sind immer ähnlich (maßstäblich) zueinander, gehen also durch Streckung auseinander hervor. Bei Streckungen nehmen Längen den Streckfaktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , Flächeninhalte den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ (und Rauminhalte den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda^3 \end{eqnarray}$ ) auf. Da der Umfang (das ist eine Länge!) des zweiten Kreises doppelt so groß ist wie der Umfang des ersten, muß $\begin{eqnarray} \lambda = 2 \end{eqnarray}$ sein. Somit ist $\begin{eqnarray} \lambda^2 = 4 \end{eqnarray}$ . Also vervierfacht sich der Flächeninhalt. Du siehst, Formeln sind hier absolut überflüssig, wenn man sich auf die Grundtatsachen einer Streckung beruft. Das Ganze ist nämlich gar nicht abhängig von der speziellen Form der Figur (hier: ein Kreis), sondern nur davon, daß die Figuren zueinander ähnlich sind. Aber auch der Ansatz mit den Formeln funktioniert. Nenne den neuen Umfang $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ und den neuen Radius $\begin{eqnarray} r' \end{eqnarray}$ . Dann gilt einerseits $\begin{eqnarray} U' = 2 \pi r' \end{eqnarray}$ und andererseits (wie du schon herausgefunden hast): $\begin{eqnarray} U' = 4 \pi r \end{eqnarray}$ Setze das gleich und berechne daraus $\begin{eqnarray} r' \end{eqnarray}$ . Berechne dann den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A' = \pi r'^2 \end{eqnarray}$ der neuen Figur, setze den oben gefundenen Wert für $\begin{eqnarray} r' \end{eqnarray}$ ein, rechne ein bißchen und vergleiche mit $\begin{eqnarray} A = \pi r^2 \end{eqnarray}$ . Aber eigentlich sollte man eine solche Lösung nicht anstreben, sie verkennt den Kern der Sache: die Ähnlichkeit.
15.04.2012, 21:23	Jan36	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieben Dank Leo! Ich finde den ersten Lösungsweg sehr elegant. Man braucht sich nicht groß die Finger schmutzig zu machen. Nur weiß ich nicht, ob ich mich in einer Klausur ohne weiteres auf diese Gesetzmäßigkeiten berufen darf. Das muss ich noch erfragen. Ich glaube nämlich mein Prof. will eher die formelle Herleitung sehen. Und die hast du ja auch gut angedeutet. Da ich in Sachen Mathematik oft ein Angsthase bin, weil mir vieles noch nicht in Fleisch und Blut übergegangen ist, wäre es nett, wenn du den folgenden ausführlichen Lösungsweg begutachten könntest: $\begin{eqnarray} U=2 \pi r <br /> A=\pi r^2 \end{eqnarray}$ 1.U verdoppelt sich $\begin{eqnarray} <br /> U=2 \pi r -> 2U=2(2\pi r) <-> 2U=4\pi r<br /> <br /> U=2U -> 2 \pi r= 4\pi r <-> r=\frac {4\pi r}{2 \pi} <-> rr=\frac {4\pi}{2 \pi} <-> r^2=2<br /> \end{eqnarray}$ 2.Wie verhält sich A, wenn wenn U sich verdoppelt ( $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ in A einsetzten) $\begin{eqnarray} <br /> A=\pi r^2 -> A=\pi(2)^2=4\pi<br /> \end{eqnarray}$ Antwort: Flächen in hat vervierfacht sich $\begin{eqnarray} A=4\pi \end{eqnarray}$ So würde ich das schreiben. Ich habe diese Schreibweise mi $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} r' \end{eqnarray*}$ nicht vorgenommen, weil ich nicht ganz verstanden habe, wieso du bei der Ausgangsformel vom Kreisumfang und bei der neuen mit dem doppelten Umfang jeweils diese Striche gesetzt hast...
16.04.2012, 15:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht das nicht. Grundregel Nr. 1: VERSCHIEDENE DINGE MÜSSEN AUCH VERSCHIEDEN HEISSEN. Ein Verstoß gegen diese Regel macht jede Algebra zu einem absurden Spiel. Du schreibst zum Beispiel: $\begin{eqnarray} U = 2U \end{eqnarray}$ . In der Mathematik ist aber das $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ auf der linken Seite dasselbe wie das $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ auf der rechten. Übersetzt bedeutet diese Gleichung: Der Kreisumfang ( $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ) ist gleich seinem Doppelten. Das ist aber größtmöglicher Unsinn. Wie kann ein Kreisumfang mit seinem Doppelten übereinstimmen? Es ist ja von zwei Kreisumfängen die Rede, einem alten, den habe ich $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ genannt, und einem neuen, den habe ich $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ genannt. Und jetzt macht die Gleichung Sinn. $\begin{eqnarray} U' = 2U \end{eqnarray}$ bedeutet nämlich: Der neue Umfang ( $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ ) ist doppelt so groß wie der alte ( $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ). Konsequenterweise habe ich dann den neuen Radius $\begin{eqnarray} r' \end{eqnarray}$ genannt. Die Wahl der neuen Bezeichner ist gewissermaßen willkürlich, ich hätte den neuen Kreisumfang auch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und den neuen Radius $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nennen können. Das wäre aber nicht sehr praktisch. Man wählt Bezeichner, die an das, was sie bezeichnen sollen, erinnern: $\begin{eqnarray} U',r' \end{eqnarray}$ oder vielleicht auch $\begin{eqnarray} U^{},r^{} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \hat{U}, \hat{r} \end{eqnarray}$ oder ... Auch sonst enthält dein Beitrag zahlreiche Fehler. Ich weiß gar nicht, wo anfangen. Am besten liest du meinen vorigen Beitrag noch einmal durch und beginnst ganz von vorne.

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