Hoch (-1) Klammer integrieren

15.04.2012, 23:23

Alcarinel

Hoch (-1) Klammer integrieren

Meine Frage:
Ich hab die hab eine Funktion f(x)= (4x)/(4x-3) und die soll integriert werden. ich hab keine ahnung wie das gehen soll.. ich brauch das auch noch bis morgen früh....

Meine Ideen:
eigene ansätze hab ich nicht wirklich.. ich habs mal versucht umzuformen in (4x)*(4x-3)^(-1), aber wie soll man bitte eine klammer mit hoch (-1) integrieren.. hilfeeee^^

15.04.2012, 23:25

Gast11022013

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Dafür solltest du mal eine Integrationsregel aufgeschrieben habe.
Die kannst bzw. solltest du nachgucken.

15.04.2012, 23:27

Alcarinel

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Diese Integration ist der bruchteil einer komplexaufgabe und ich hab leider keine ahnung mit welcher regel das gehen soll... hab schon meine schulsachen nachgeschaut.. wahrscheinlich steht da was, aber ich hab kein veranschauungsbeispiel in dieser art gefunden das mir irgendwie einen hinweis gibt-.-

15.04.2012, 23:30

Mulder

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RE: Hoch (-1) Klammer integrieren !! HILFE

Zitat:

Original von Alcarinel
ich brauch das auch noch bis morgen früh....

Da bist du ja in etwa genau so früh mit wie ich damals mit meinen Kunst-Hausaufgaben. Big Laugh

Also, du weißt doch sicher, dass $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist. Das ist ein Grundintegral, das man kennen muss. So einen ähnlichen Fall haben wir hier ja auch, bloß leicht verändert. Aber immerhin weiß man dann schon mal, worauf es hinaus läuft. Denn es ist allgemein so:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dd x = \ln(|f(x)|) + C \end{eqnarray*}$

Wenn also im Zähler die Ableitung des Nenners steht, ist eine Stammfunktion einfach ln("Nenner").

Bei deinem Bruch ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad. Immer, wenn das der Fall ist, muss man eigentlich erstmal mit Polynomdivision loslegen. Kann man hier auch im Kopf, indem ich im Zähler eine 0 addiere:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{4x-3} = \frac{4x-3+3}{4x-3} = 1 + \frac{3}{4x-3} \end{eqnarray*}$

Schaffst du es jetzt? Du musst da bei deinem Bruch jetzt irgendwie noch zusehen, dass im Zähler genau die Ableitung des Nenners steht, dann klappt das mit dem ln. Konstante Faktoren kannst du vor das Integral schreiben. Klammere passend aus und dann mal sehen.

Edit: Oh, pardon. Da war ich wohl recht spät... ^^

15.04.2012, 23:37

Gast11022013

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Nicht so schlimm.
Kannst ruhig auch weiter machen.

Dann gehe ich jetzt nämlich schlafen. Augenzwinkern

15.04.2012, 23:42

Alcarinel

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RE: Hoch (-1) Klammer integrieren !! HILFE
ich weiß nicht genau was mit die polynomdivision bringt, aber ich nehme das mal hin.. kann ich jetzt einfach die funktion : 1+ (3/(4x-3)) mit 4/3 multiplizieren ? dann hab ich ja im bruch im zähler die ableitung des nenners .. dann lass ich die 1 weg und schreibe die 4/3 vor das integral ? oder bin ich jetzt völlig auf dem falschen weg ?^^

15.04.2012, 23:48

Mulder

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RE: Hoch (-1) Klammer integrieren !! HILFE

Zitat:

Original von Alcarinel
ich weiß nicht genau was mit die polynomdivision bringt [...]

Naja, ich hab ja schon gesagt, dass im Zähler die Ableitung des Nenners stehen muss, damit man mit dem Bruch hier was anfangen kann. Vorher stand im Nenner 4x-3, die Ableitung davon ist 4. Und im Zähler stand 4x. Das x stört, das muss irgendwie da weg. Deswegen erstmal die Polynomdivison. Gemeint ist es nun so:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{4x}{4x-3} \, \dd x = \int 1 \, \dd x + \int \frac{3}{4x-3} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Denn bei einer Summe kann man einzeln integrieren, genau wie man das auch beim Ableiten machen darf. Die 1 zu integrieren ist völlig banal. Und für den Bruch hast du jetzt auch eine Methode.

Zitat:

Original von Alcarinel
kann ich jetzt einfach die funktion : 1+ (3/(4x-3)) mit 4/3 multiplizieren ?

Also einfach mit irgendwas multiplizieren geht natürlich nicht, dann veränderst du ja die ganze Funktion. Ausklammern musst du! Und dann den konstanten Faktor vor das Integral, da stört er niemanden mehr.

Es ist übrigens bei diesen Brüchen immer so, dass man da erstmal Polynomdivision machen muss, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist. Denn so kann man den Bruch in eine Summe zerlegen, wobei jeder Summand dann einfacher zu integrieren ist. Also Merkregel! Da kommt man erst wirklich weiter, wenn der Nennergrad größer als der Zählergrad ist.

16.04.2012, 00:05

Alcarinel

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ich weiß nicht ob es daran liegt das es so spät ist, aber ich kann nicht mehr integrieren hab ich das gefühl -.-....
ich hab sowas vorgegeben vonwegen f(x) = (ax+b)^n
die integration laut vorgabe wäre : F(x)= [(1)/(a(n+1))] * (ax+b)^(n+1)...... aber das geht nicht weil n+1 bei mir null wäre.. Ich würde halt umformen 4x(4x-3)^(-1)... was anderes fällt mir im moment nicht ein.. oje..

16.04.2012, 00:08

Mulder

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Zitat:

Original von Alcarinel
ich weiß nicht ob es daran liegt das es so spät ist, aber ich kann nicht mehr integrieren hab ich das gefühl -.-....
ich hab sowas vorgegeben vonwegen f(x) = (ax+b)^n
die integration laut vorgabe wäre : F(x)= [(1)/(a(n+1))] * (ax+b)^(n+1)...... aber das geht nicht weil n+1 bei mir null wäre..

Ja, da wäre n+1=0. Deswegen ist n=-1 eben auch die einzige Ausnahme, bei der diese Regel versagt. Bei allen anderen Zahlen n klappt das so.

16.04.2012, 00:20

Alcarinel

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das einzigste was mir noch einfallen würde wäre da irgendwas zu substituieren damit ich da was anderes als hoch (-1) rausbekomme beim umformen.. also irgendwie z²= nenner oder sowas...-.-..

16.04.2012, 00:23

Mulder

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Gegenvorschlag: Du vergisst den ganzen Unsinn und richtest dich nach dem, was ich dir empfohlen habe, zu tun. Fang da doch mal mit an und zeige, wie weit du kommst. Und wenn du davon etwas nicht verstehst oder dann hängen bleibst, dann fragst du halt nach.

Wenn es einen einfacheren Weg gäbe als den, den ich dir nahe gelegt habe, dann hätte ich dir den schon genannt, ich will dich ja nicht zusätzlich verwirren.

Außerdem fehlt ja eigentlich auch nur noch ein Schritt, 90% der Aufgabe hab ich schon für dich gemacht.

Edit: Wenn dir das lieber ist, kannst du natürlich auch die Substitution 4x-3=z durchführen. Aber letztlich steckt hinter dem auch nur meine Lösungsmethode.

16.04.2012, 00:36

Alcarinel

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naja das integral von 1 ist ja kein ding (wie du schon erwähnt hast)..
die übriggebliebenen 3/(4x-3) konnte man noch umschreiben in (3/1)*1/(4x-3)
dann könnte ich nämlich die lineare kettenregel anweden würde ich meinen und dann würde für das integral von 3/(4x-3) bei mir folgendes rauskommen:
3*ln(4x-3)*(1/4)

16.04.2012, 00:37

Mulder

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Na also, und schon bist du fertig. Geht doch wohl.

16.04.2012, 00:39

Alcarinel

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oje.. vielen dank

16.04.2012, 00:43

Mulder

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Aber eines noch: Du musst da Beträge setzen (hab ich jetzt übersehen, sorry): ln(|4x-3|). Denn der ln ist ja nur für positive Zahlen definiert.