Termumformung mit komplexem Teil (cos und i sin)

16.04.2012, 14:42	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung mit komplexem Teil (cos und i sin) Hallo Zusammen Ich stecke beim Lesen meines Buches schon wieder fest. Dieses mal wird im Buch in einem Schritt aus $\begin{eqnarray} \left(\frac{\left(\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-\lambda}\right)^{2}}{\lambda}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ mit der Annahme $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ und der Substitution $\begin{eqnarray} \lambda \equiv\cos^{2}(\theta) \end{eqnarray}$ Folgendes: $\begin{eqnarray} \left(\cos(\theta)\pm i\sin(\theta)\right)^{2(n+1)} \end{eqnarray}$ WICHTIG: Das Buch hat sich beim Lesen schon mehrfach als fehlerhaft erwiesen. Ich behaupte jetzt trotzdem nicht, dass die Lösung nicht stimmt! Nach einigen Umformungen erhalte ich $\begin{eqnarray} \left(2\cos^{2}(\theta)-1+2\cos(\theta)\sqrt{cos^{2}(\theta)-1}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ und daraus dann schlussendlich $\begin{eqnarray} \left(\cos(2\theta)\pm i\sin(2\theta)\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ - 1. Kann man das jetzt weiter umformen, um obige Lsg. zu erhalten? Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass meine Lösung stimmt. - 2. Im Buch steht, dass "Plusminus" nur positiv wird, falls der cos und sin Term gleiches sign haben? Ich verstehe das nicht ganz. Falls es jemand gerade sieht, wäre ich um eine Antwort sehr dankbar. Schönen Gruss und danke im Voraus
17.04.2012, 17:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Resultat ist richtig und es kann nach dem Satz von Moivre auch sofort zu dem Ergebnis im Lösungsbuch umgeformt werden. Denn es gilt (nach Moivre) $\begin{eqnarray} (\cos x + i \sin x)^2 = \cos 2x + i \sin 2x \end{eqnarray}$ Wenn nun dieses noch mit (n+1) potenziert wird, erhalten wir genau das angegebene Resultat. mY+
05.05.2012, 12:33	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mYthos, ich habe es dann irgendwann auch gecheckt, nach laaanger laanger Überlegung war in letzter Zeit jedoch so beschäftigt, dass ich erst jetzt schreibe.

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