Gruppen und Untergruppen |
| 16.04.2012, 17:11 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gruppen und Untergruppen ich habe folgende Aufgabenstellung: Geben Sie ein Beispiel einer Gruppe G und zweier Untergruppen H, H' <= G von G an, so dass H vereint H' keine Untergruppe von G ist. Mir fällt hier schon keine passende Gruppe G ein, sowie keine passenden Untergruppen H, H'. Wenn mir da vielleicht jemand helfen könnte, könnte man vielleicht dann folgern, dass für H vereint H' kein neutrales Element existiert oder kein inverses und somit keine Untergruppe wäre. gruß, Volker |
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| 16.04.2012, 17:19 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gruppen und Untergruppen Wie wäre es denn mit ? Die Untergruppen sind da doch bestimmt bekannt und bei der Vereingung wirst du schnell sehen, was da schief läuft (bzw. schief laufen kann, wenn man passende Untergruppen wählt).
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| 16.04.2012, 18:10 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie könnten denn die Untergruppen H, H' von G = (Z, +) aussehen? Wenn ich H, H' noch habe, sollte ich es hinbekommen. |
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| 16.04.2012, 18:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, dann hab ich dir die Aufgabe ja schon komplett gelöst. Möchte ich eigentlich nicht und sieht das Boardprinzip auch nicht vor. ALLE Untergruppen von (Z,+) haben eine ganz bestimmte Form. Welche nämlich? Und davon dann halt zwei auswählen. Eigentlich sieht man dann auch sofort, was schief laufen kann. Kennst du überhaupt irgendwelche Untergruppen von Z? Dann nenn doch mal welche. |
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| 16.04.2012, 18:50 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, die Untergruppen von (Z, +) haben glaub ich die Form H = {nz | z Element Z}, mit n Element N. Ich versuche dann mal 2 Untergruppen zu finden, bei dem die Mengen disjunkt sind. Ich hoffe es klappt dann. gruß, Volker |
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| 16.04.2012, 20:21 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab jetzt für G = (Z,+), H=({-1,0,1},+) und H'=({-2,0,2},+) gewählt und argumentiert, dass dann H U H' keine Untergruppe von G ist, weil z.B. für -1, -2 E H U H' gilt, -1 + (-2) = -3 nicht Element von H U H' ist. ist das korrekt? |
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| 16.04.2012, 20:26 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hä? Sollen H und H' nur diese drei Elemente enthalten, oder wie? Das sind doch noch nichtmal Gruppen! Und mit den nZ haben die auch nichts zu tun, denn die nZ sind unendliche Gruppen. |
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| 16.04.2012, 20:33 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
na dann geb ichs auf. Was besseres fällt mir nicht ein. 
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| 16.04.2012, 20:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich nicht nachvollziehen. Hier
warst du doch schon genau auf der richtigen Spur! Solche zwei Untergruppen zu finden, ist doch jetzt eigentlich nur noch Formsache. |
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| 16.04.2012, 21:16 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, ein Versuch hab ich dann doch noch gemacht und zwar: H = ( {2z | z E Z}, +) und H = ( {3z | z E Z}, +) mit G wie zuvor. Dann gilt für 2,3 E H U H': 2 + 3 = 5 nicht Element von H U H' => H U H' keine UG von G passt es jetzt? |
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| 16.04.2012, 21:18 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das passt. Ist dir denn klar (geworden), warum z.B. dein H in deinem ersten Versuch, also einfach die Menge {-1,0,1} keine Gruppe sein kann (und folglich auch keine Untergruppe von Z)? PS: Eine Anmerkung noch: Disjunkt sind 2Z und 3Z natürlich nicht, denn die 0 liegt ja in beiden drin (sowie alle gemeinsamen vielfachen von 2 und 3). Disjunkte Untergruppen kann es in dem Sinne auch nicht geben, denn das neutrale Element brauchen ja alle (Unter-)Gruppen. |
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| 16.04.2012, 21:38 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da bin ich aber froh, dass es jetzt passt. Ich denke H in meinen ersten Versuch ist keine Gruppe, weil es für diese Gruppe wohl keine Abbildung: GxG -> G gibt, da die Menge nur 3 Elemente enthält. Ja disjunkt, war der falsche Begriff, die Mengen sollten einfach nur nicht gleich sein, also H echte Teilmenge H', da ja beide schon das selbe inverse brauchen. Ansonsten danke für den vorletzten Beitrag, sonst hätte ich es wohl nicht mehr versucht. gruß, Volker |
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| 16.04.2012, 21:44 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso sollte es keine solche Abbildung geben, weil es drei Elemente sind? Was ich eigentlich meinte, ist, dass {-1,0,1} bezüglich "+" ja überhaupt nicht abgeschlossen ist. 1+1=2. Aber liegt 2 in dieser Menge? Wohl kaum. Es scheitert an der Verknüpfung. Man kann generell natürlich aus drei Elementen wohl eine Gruppe konstruieren. Aber nicht aus {-1,0,1} und der üblichen Addition auf Z. Denn damit eine Gruppe H eine Untergruppe von einer Gruppe G sein kann, müssen auf G und H ja exakt die gleichen Verknüpfungen erklärt werden. (Z,+) hat nur eine endliche Untergruppe, und das ist die Menge, die nur die 0 enthält. Klar, ist ja auch einfach 0Z. |
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| 16.04.2012, 22:07 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso, danke für die Erklärung. Da wär ich jetzt gar nicht drauf gekommen, da der Begriff abgeschlossenheit in der Vorlesung bzgl. Gruppen gar nicht erwähnt wurde. |
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| 16.04.2012, 22:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, genau das steckt doch hier drin:
Denn genau das wird ja verletzt, weil eben z.B. (1,1) auf 2 abgebildet wird, also nicht auf ein Element aus G. Mir hat nur deine Begründgung "weil es drei Elemente sind" nicht so ganz gepasst. Denn daran scheitert es nicht, sondern daran, dass die Verknüpfung "+" das hier nicht erfüllen kann. Aber vielleicht meintest du es ja auch wohl richtig und ich hab dich nur falsch verstanden. Ist ja auch egal, es scheint ja nun klar zu sein. |
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| 16.04.2012, 22:28 | deppensido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, ich denk dass ist jetzt klar. Nochmals danke für die Hilfe. |
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