Gaussintegral mit Residuensatz

16.04.2012, 19:36

Hasselpuff

Gaussintegral mit Residuensatz

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Würde gerne mit dem Residuensatz zeigen, dass folgende Gleichung gilt wenn der Realteil von alpha > 0 ist.
Nun stellt sich aber das Problem das alpha und c beliebig sind, wodurch ich nicht wirklich meine Residuen finden kann.

Das Integral:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\alpha(x+c)^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha} }<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Residuen der oberen Halbebene finden und dann mittels Residuensaz für reelle integrale lösen.

16.04.2012, 21:11

gonnabphd

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Hi,

Mit Residuensatz ist das zwar möglich, aber dazu muss man schon ein bisschen trickreich sein (denn die zu integrierende Funktion ist ja ganz). Das müsste ich dann auch in einem Buch nachschlagen (habe es allerdings schonmal gesehen).

Wenn du jedoch weisst, dass $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ (was ich stark annehme), dann könnte man es daraus folgern.

Zeige in einem ersten Schritt, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\alpha(x+c)^2} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\alpha x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Integriere dazu entlang eines geeigneten Weges (den zu finde, überlasse ich dir).

Bleibt also noch $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\alpha x^2} \, dx = \sqrt{\frac\pi \alpha} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Tipp: Integriere dazu $\begin{eqnarray*} f(z) = e^{-z^2} \end{eqnarray*}$ entlang des Weges, welcher sich zusammen setzt aus den Stücken

$\begin{eqnarray*} [-\mathrm{Re}(R \sqrt \alpha), \mathrm{Re}(R \sqrt \alpha)],\; [\mathrm{Re}(R \sqrt \alpha),R \sqrt \alpha], \; [R \sqrt\alpha, - R \sqrt\alpha], \; [-R \sqrt\alpha, \mathrm{Re}(R \alpha)] \qquad \text{mit } R>0 \end{eqnarray*}$

Damit kannst du folgern, dass $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-\alpha x^2} \, dx =\frac{1}{\sqrt \alpha}\int_{-\infty}^{\infty} \! e^{- x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

17.04.2012, 09:58

Hasselpuff

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Danke erstmal fürs wieder aufmachen Big Laugh

Diese Lösung ist zwar eine möglichkeit, allerdings ist es tatsächlich wichtig das sie mit dem Residuensatz gelöst wird. Hat da jemand eine Idee?

17.04.2012, 10:24

gonnabphd

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Zitat:

Diese Lösung ist zwar eine möglichkeit, allerdings ist es tatsächlich wichtig das sie mit dem Residuensatz gelöst wird. Hat da jemand eine Idee?

Der Residuensatz wird schon benutzt, allerdings in der einfacheren Form des Cauchyschen Integralsatzes (d.h. mit Residuum 0). Diese Herangehensweise ist auf alle Fälle völlig funktionentheoretisch. Und mit ziemlich grosser Sicherheit ist es genau das, was die Aufgabensteller sehen wollen Augenzwinkern

- speziell, weil du ja in der ersten Teilaufgabe die reelle Version zeigen musstest (sodass das dann perfekt aufeinander aufbaut).

Wink

Edit: Ah, ich sehe noch eine andere Möglichkeit. Du kannst auch (sehr elegant) mit der Eindeutigkeit von analytischen Fortsetzungen argumentieren:

Du weisst (aus dem ersten Aufgabenteil), dass für reelle alpha>0 gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun zeigst, dass die linke Seite und die rechte Seite auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} \{\alpha \in \mathbb C\mid Re(\alpha) > 0\} \end{eqnarray*}$ beide holomorphe Funktionen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sind, dann kannst du daraus schon folgern, dass sie auf dem ganzen Gebiet auch gleich sein müssen (heisst glaube ich auch häufig Identitätssatz).

Edit 2: Diese zweite Möglichkeit ist sogar viel, viel einfacher (und hübscher) als die erste, da der Nachweis, dass beide Seiten auf dem betrachteten Gebiet holomorph sind relativ leicht ist und man sich die ganze Geschichte mit "auf Wegen rumintegrieren und die Länge der Wege gegen unendlich gehen lassen" etc. ersparen kann.

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