Vollständige Induktion mit Fakultät

16.04.2012, 20:05

Beweisgnom

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Vollständige Induktion mit Fakultät

Hello again Wink

Wink

Also hier die nächste Aufgabe

$\begin{eqnarray*} n² \leq n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$

Ich fang mal an(was auch sonst ^^ ) :

1. Induktionsanfang:

n = 4
$\begin{eqnarray*} 4² \leq 4! \end{eqnarray*}$

Stimmt !

2. Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} n² \leq n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$

ist wahr.

3. Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} (n+1)² \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Durch Umformen komm ich nun auf:

$\begin{eqnarray*} n²+2n +1 \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Was ja jetzt nicht so schwer war. Aber was mach ich jetzt?? Was macht man mit der Fakultät?

Gruß

16.04.2012, 20:41

Bjoern1982

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Das Ziel bzw die Vorgehensweise ist es nicht jetzt einfach n+1 einzusetzen sondern darauf (mittels der Induktionsannahme) zu schließen

16.04.2012, 21:11

Beweisgnom

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Woah, könntest du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben??

16.04.2012, 23:10

Bjoern1982

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Eine Möglichkeit wäre es mit (n+1)! anzufangen und das dann so nach unten abzuschätzen, dass man die IA benutzt und letztendlich hinten bei (n+1)² landet:

(n+1)! = ... > ... > ... =(n+1)²

17.04.2012, 00:13

Beweisgnom

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Ok also ich hab jetzt mal das versucht:

$\begin{eqnarray*} (n+1)² \leq (n+1)n! \end{eqnarray*}$

dann das mal $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1)² \leq (n+1)(n+1) n! \end{eqnarray*}$

Ergibt dann eben:

$\begin{eqnarray*} (n+1)³ \leq (n+1)² n! \end{eqnarray*}$

Und das gilt auf jeden Fall für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ allerdings ist zwar die linke Seite immer kleiner, wird aber nie gleich der rechten Seite hm.

Gruß

17.04.2012, 19:02

Beweisgnom

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smile

Könnte sich das vielleicht noch mal jemand angucken? Würde mich freuen Freude

Freude

Gruß

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17.04.2012, 19:46

Integralos

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Ich versteh nicht, wieso du einfach überall (n+1) schreibst.

Das mit dem multiplizieren klingt vom Ansatz her gut, aber nicht mit der Gleichung, mit der du es machst.

Beginne den Induktionsschluss so:

$\begin{eqnarray*} n^2 \cdot (n+1) \leq (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$

Damit kannst du verschiedene Größenbeziehungen herstellen und so zum Ergebnis kommen.

17.04.2012, 20:54

Beweisgnom

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Oh man das is echt ne Knobelei mit diesem Abschätzen

Ok ich hab jetzt mal das versucht:

$\begin{eqnarray*} n²(n+1) = n³+n² \leq (n+1)n! = (n+1)! -n \geq n²+n-n = n² \end{eqnarray*}$

Also ich hab versucht das so umzuschreiben das Eben am Ende n² raus kommt und das geht, wenn ich den ersten Term jeweils um eine Potenz verkleinere(dadurch ist der Term mit der Fakultät immer noch größer, und dann noch -n von beiden Seiten der Gleichung abziehe damit n² raus kommt, was ja die Induktionsannahme ist, geht das??

Gruß

17.04.2012, 21:20

Integralos

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Du teilst also durch n.
Allerdings machst du einen Fehler.

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$ dividiert durch n ist nicht $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ .
Du multiplizierst das n ja nicht einfach dazu, sondern n! bedeutet etwas ganz anderes:

$\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)... \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Du kürzt somit nur das n raus und unterschlägst den Rest.

Eventuell hast du meinen Post von vorhin falsch verstanden. Wenn du den Induktionsschluss machen möchtest, musst du natürlich (n+1) betrachten, allerdings würde ich bei dieser Ungleichung anders beginnen.

Auf den von mir vorhin vorgeschlagenen Ansatz kommt man folgendermaßen:

Betrachte: $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ dies lässt sich umschreiben als
$\begin{eqnarray*} n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ und damit die Ungleichung wieder stimmt, muss man (n+1) auch auf der anderen Seiten, also mit dem $\begin{eqnarray*} n² \end{eqnarray*}$ multiplizieren.
Nun musst du versuchen, am Schluss auf $\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Wir zäumen das Pferd sozusagen von hinten auf.

einen Tipp gebe ich dir noch:
$\begin{eqnarray*} n^3 \geq 2n+1 \end{eqnarray*}$ für n größer gleich 2.

17.04.2012, 21:29

Bjoern1982

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Ich frage mich warum ich überhaupt solche Sachen wie

Zitat:

(n+1)! = ... > ... > ... =(n+1)²

schon mundgerecht hinschreibe, man nur noch 2 bis 3 Lücken ausfüllen muss und das eigentlich völlig ignoriert wird... verwirrt

verwirrt

17.04.2012, 22:25

Beweisgnom

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Hallo, tut mir leid Björn, hab mir zu viel Gedanken über die Aufgabe gemacht. Aber jetzt bin ich schon der Lösung näher glaub ich, ich hab jetzt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! > (n+1)³ +n²> n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

Ok ich hab jetzt im vorletzten Term noch +n² eingefügt ich hoffe das stimmt jetzt, oder ist besser als die letzten Versuche Tanzen

Tanzen

Gruß

17.04.2012, 22:29

Beweisgnom

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ohhh die Ungleichung stimmt nicht für 4 und größer -.- oh man

17.04.2012, 22:47

Bjoern1982

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Das nach dem ersten Gleichzeichen hast du richtig ausgefüllt.
Danach benutze direkt die Induktionsannahme IA, denn gerade das gehört zu einer vollständigen Induktion.
(Übrigens hatte ich mir das "größer oder gleich" aus Faulheit oben gespart, das gehört aber schon dahin statt nur "größer als") Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2012, 22:57

Beweisgnom

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Woah, ich glaub ich habs jetzt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \geq (n+1)³ \geq n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme weil ja (n+1)² = n²+2n+1 oder?

Gruß

17.04.2012, 22:59

Beweisgnom

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Oh man die Gleichheitszeichen anders rum, so:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \leq (n+1)³ \leq n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

17.04.2012, 23:01

Beweisgnom

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ooh sry, natürlich nicht, linke Seite ist größer als die rechte Seite, wie im vorherigen Post.

17.04.2012, 23:06

Che Netzer

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@Bjoern1982:
Da $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ dürfte hier tatsächlich überall die strikte Ungleichheit gelten. (Wenn man das denn im Induktionsanfang bzw. in der Aufgabe gleich so gemacht hätte...) Zumindest, wenn du keine anderen Schritte gemacht hast als ich, aber die sind ja recht eindeutig.

17.04.2012, 23:28

Beweisgnom

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Da bin ich ja froh das du keine Probleme damit hast Che smile

smile

smile

17.04.2012, 23:33

Che Netzer

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@Beweisgnom:
Ich meinte damit eher, dass man kaum einen anderen Weg findet, nicht dass der Weg so einfach wäre Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lösungen von Gleichungen sind ja auch oft eindeutig; das heißt aber noch lange nicht, dass sie auch leicht zu finden sind.

Wenn ich schonmal antworte:
Hast du n! durch (n+1)² abgeschätzt? Das geht allerdings nicht, das ist nicht die Induktionsannahme.

17.04.2012, 23:36

Beweisgnom

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Dann wahrscheinlich reicht auch n² oder? Dann geht die Ungleich nämlich auch für die 4 ^^

18.04.2012, 00:10

Beweisgnom

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$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \geq (n+1)n² \geq n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

Bitte nur ein ja oder nein, bin geistig Zerstört ^^ aber wenigstens hab ich schon mal was gelernt heute.

18.04.2012, 00:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von Beweisgnom
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \geq (n+1)n² \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt alles, danach kannst du aber nicht ohne jede Erklärung $\begin{eqnarray*} (n+1)n^2\geq(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ verwenden.

18.04.2012, 00:21

Beweisgnom

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Tut mir leid ich weiß es nicht, vielleicht ein Tipp? Ich hab die IA benutzt und was folg danach? Ein anderer user hatte den tipp n³ ist größer gleich 2n+1 für n größer 2, weiß aber nix damit anzufangen

18.04.2012, 00:23

Che Netzer

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Dann schreib doch mal n²(n+1) aus.
Alternativ könntest du auch n² abschätzen, die Abschätzung musst du aber in beiden Fällen beweisen.

18.04.2012, 00:31

Beweisgnom

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Achso ok, das muss man dann noch aus multiplizieren, damit es offensichtlicher ist? Also so siehts dann halt aus:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \geq n³+n²\geq n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

18.04.2012, 00:32

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \geq (n+1)n² \geq n²+2n+1 = (n+1)² \end{eqnarray*}$

Schreibe statt n²+2n+1 einfach (n+1)(n+1).
n²>n+1 ist ja für n größer gleich 4 recht offensichtlich.
Falls dir das nicht so abgekauft wird teste dich selbst nochmal und zeige auch noch n²>n+1 mit vollständiger Induktion für n>1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2012, 00:45

Beweisgnom

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Ahh ok, das konnte man ja auch so umformen Forum Kloppe

Forum Kloppe

, super, danke für eure Hilfe(in Reihenfolge des erscheinens^^) an Integralos, Bjoern1982, Che Netzer smile

smile

und danke für die Ausdauer. Das war zwar jetzt eine schwere Geburt, ich hab aber einiges dazu gelernt wie man voll. Ind. bei Ungleichungen benutzt. Ich schreibs jetzt noch schön auf und dann endlich pennen.

Ich wünsche dann alle noch eine gute Nacht smile

smile

(bis zur nächsten Frage, die kommt bestimmt Big Laugh

Big Laugh

)

Gruß

18.04.2012, 06:16

Che Netzer

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Für n²>n+1 braucht man gar keine Induktion, wenn n>2:
$\begin{eqnarray*} n^2=n\cdot n\geq n\cdot(1+1)=n+n\geq n+1 \end{eqnarray*}$
Oder wie gesagt wieder mit echter Ungleichheit...

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