Rotationskörper, unendliches Volumen?

16.04.2012, 20:48

rechner

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Rotationskörper, unendliches Volumen?

Meine Frage:
Hallo!
Wir haben eine Aufgabe aufbekommen und ich weiß nicht, ob meine Rechnung/Ergebnis so richtig ist. Könnte das bitte jemand überprüfen? Das wäre echt nett smile

smile

Die Aufgabe lautet:
Der Graph der Funktion f, die y-Achse und die Gerade mit der Gleichung y=a begrenzen eine nach oben offene Fläche, die um die y-Achse rotiert. Dabei entsteht ein nach oben unbegrenzter Körper K. Untersuchen Sie, ob K ein endliches Volumen besitzt.

f(X)=6/x ; a=1

Meine Ideen:
Zuerst hab ich die Umkehrfunktion gebildet --> y=6x (genau wie urspr. Funk.)

Danach habe ich folgendes ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \left[\int_0^b \! \left( \frac{6}{x} \right)^{2} \, dx \right] \end{eqnarray*}$

Und da kommt bei mir als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ raus. Somit ist nach meiner Rechnug das Volumen nicht begrenzt.

Ist das so richtig?
Danke im voraus smile

smile

16.04.2012, 21:07

iForReal

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Schonmal geplottet? das hätte vielleicht schonmal Fragen geklärt smile

smile

[attach]24009[/attach]

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {6}{x} \end{eqnarray*}$ rot

$\begin{eqnarray*} y=a=1 \end{eqnarray*}$ schwarz

Man sieht ja eine waagerechte Asymptote -> Wird nicht 0, sondern nähert sich nur an.

MfG

ForReal

16.04.2012, 21:10

rechner

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Also ist meine Rechnung so richtig?

16.04.2012, 21:12

Airblader

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@ iForReal

Und welche Frage klärt das? Prinzipiell kann das Volumen in solchen Situationen durchaus endlich sein, zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{1}{x^2}~\dd x < \infty \end{eqnarray*}$ ,

das ist doch gerade das Beeindruckende an uneigentlichen Integralen.

air

16.04.2012, 21:12

iForReal

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Gilt beim Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \end{eqnarray*}$ ?

16.04.2012, 21:13

Airblader

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Zitat:

Original von iForReal
Gilt beim Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \end{eqnarray*}$ ?

Diese Frage ergibt nicht einmal Sinn.

air

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16.04.2012, 21:14

iForReal

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Oder anders;

Ist die Grenze $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gegeben?

MfG

ForReal

16.04.2012, 21:18

Airblader

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Das ergibt noch weniger Sinn ... Vielleicht machst du, iForReal, ja mal die Mühe, die Aufgabe zu lesen.

@ rechner

Du darfst nicht 0 als untere Grenze wählen. Beachte bitte, dass die Gerade y=1 ja einiges "wegschneidet". Betrachte ein geeignetes Rechteck und ein Restintegral. Das Volumen wird(!) endlich.

air

16.04.2012, 21:22

iForReal

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@air: Merke ich jetzt auch, Rotation um y-Achse.

Dankeschöön smile

smile

MfG

ForReal

16.04.2012, 21:27

rechner

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Ouuu

LOL Hammer

hab die 1 als Grenze vergessen Hammer

Hammer

Ich bekomme jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{113.097(a-1)}{a} \end{eqnarray*}$ . Ist das das Volumen?
Wenn ich jetzt a gegen unendlich laufen lasse bekomme ich 113.097 raus. Dieser Wert sagt aus, dass das Volumen nicht endlich ist, aber ist das das Volumen, oder das erste?

16.04.2012, 21:32

Airblader

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Welche '1' als Grenze? Schau dir doch mal das Bild von oben an. Welche Fläche musst du berechnen und wie bekommst du sie? Ich habe dir einen konkreten Tipp gegeben, dass die Fläche sich aus einem Rechteck und einem Restintegral zusammensetzen lässt.

Da Rechtecke sicherlich endliches Volumen haben, musst du es nicht ausrechnen. Aber das Restintegral sollte man schon an der passenden Stelle ansetzen (auch wenn es hier für die Frage nach der Endlichkeit keine Rolle spielt – nur ist dir nicht klar, warum nicht).

Das Volumen ist dann letztlich gegeben als uneigentliches Integral (plus Rechtecksfläche). Integriert man nur bis zu einer Stelle 'a', so ist das natürlich auch nur das Volumen bis dorthin. Das uneigentliche Integral ist dann der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \to \infty \end{eqnarray*}$ – und das ist das Volumen des Rotationskörpers.

air

16.04.2012, 21:41

rechner

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Ich weiß nicht, warum ich irgendiwe ein Rechteck brauche?
Ich muss das Volumen nach oben hion berechnen und da gibt es noch die einschränkung y=1. Und wenn ich die Umkehrfunktion bilde, kann ich das ja eigentlich "ganz normal" berchnen, und deswegen habe ich die y=1 zu x=1 umgekehrt.

16.04.2012, 21:45

Che Netzer

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kleine Bemerkung:
Da braucht man tatsächlich kein Rechteck... Die untere Grenze 1 stimmt so.

16.04.2012, 21:50

Airblader

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Stimmt. Dieses Mal habe ich mich verlesen. Nun gut, dann berechnest du also

$\begin{eqnarray*} 36\pi\int_1^a \frac{1}{x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

und führst anschließend den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} a \to \infty \end{eqnarray*}$ durch. Dies ist dann das Rotationsvolumen. Dein Ergebnis habe ich nicht überprüft, aber falls es stimmt: Wieso sollte das gegen die Endlichkeit sprechen? Das spricht doch gerade dafür, dass es endlich ist.

air

16.04.2012, 21:50

rechner

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Zitat:

Ich bekomme jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{113.097(a-1)}{a} \end{eqnarray*}$ . Ist das das Volumen?
Wenn ich jetzt a gegen unendlich laufen lasse bekomme ich 113.097 raus. Dieser Wert sagt aus, dass das Volumen nicht endlich ist, aber ist das das Volumen, oder das erste?

Ich hab das folgendermaßen ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \left[\int_1^b \! \left(\frac{6}{x} \right)^{2} \, dx \right] \end{eqnarray*}$

Was daran ist falsch?

16.04.2012, 21:57

Airblader

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Noch gar nichts. Aber wenn du $\begin{eqnarray*} \approx 113.097 \end{eqnarray*}$ rausbekommst, dann ist das für mich ein endlichert Wert, du sprichst jedoch von "nicht endlich"?

air

16.04.2012, 22:02

rechner

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Ne, da wo ich jetzt 1 als Grenze genommen habe bekomme ich was anderes als unendlich raus, also ist es endlich.
Als erstes hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{113.097(a-1)}{a} \end{eqnarray*}$ raus und wenn ich nun diesen Wert gegen unendlich laufen lasse das hier : 113.097. Der letzte Wert ist doch das gesuchte Volumen, oder irre ich mich?

16.04.2012, 22:22

Airblader

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Du irrst nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

16.04.2012, 22:37

rechner

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Vielen Dabk für eure Hilfe Mit Zunge

Mit Zunge

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