Menge stetiger Abb. zwischen zwei Topologien

16.04.2012, 18:59

Louis1991

Menge stetiger Abb. zwischen zwei Topologien

Moin,

Sei S die Topologie aller offenen Halbintervalle $\begin{eqnarray*} (- \infty, a), a \in \mathbb{R} \cup \infty \end{eqnarray*}$ .
Es sei T die natürliche Topologie. Man bestimme die Mengen aller stetigen Abbildungen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, S) \rightarrow (\mathbb{R}, S), (\mathbb{R}, S) \rightarrow (\mathbb{R}, T), (\mathbb{R}, T) \rightarrow (\mathbb{R}, S) \end{eqnarray*}$ .

So, so weit zur Aufgabe. Mein Problem ist, ich kann da zwar einiges rumdenken, aber wie genau ich jetzt diese unendlichen Mengen charakterisieren soll ist mir nicht klar (Ausnahme: (R, S) -> (R, T) - das geht ja wirklich einfach und ich kann meine Behauptung auch beweisen).

Bei den beiden anderen Fällen habe ich nicht wirklich einen Plan. Gut, bei (R, T) -> (R, S) ist noch klar, dass die Menge irgendwie eine Obermenge der stetigen Abbildungen zwischen natürlicher und natürlicher Topologie sein muss - also sind so Sachen wie Potenzreihen und rationale Funktionen schonmal enthalten, aber dann kommen ja noch einige Abbildungen dazu (evtl.?). Was wäre denn eine Möglichkeit, die Menge anzugeben (außer natürlich stumpf per Definition).

Genauso (R, S) --> (R, S) sind auf jeden Fall schonmal die nach unten unbeschränkten, monoton steigenden in nat-> nat stetigen Funktionen enthalten. Aber potentiell ja auch noch mehr? Und selbst wenn nicht, hätte ich keine Idee, wie ich das beweisen sollte.

Ideen: S ist gröber als T und T und S sind nicht äquivalent. Ansonsten nicht viel, außer halt stumpf versuchen, irgendwie die Definition von Stetigkeit anzuwenden, was aber nicht zu viel Ertrag führt.

Wäre für Hilfe dankbar. Wink

16.04.2012, 19:25

gonnabphd

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Hiho,

Nunja, mit Charakterisierungen ist das natürlich immer so eine Sache (was würden die lieben Korrektoren denn gerne sehen?)... Ich würde mir vielleicht mal was in Richtung Halbstetigkeit überlegen.

Für (R, S) --> (R, S) würde ich mir mal überlegen, ob nicht vielleicht alle (beliebigen) monoton wachsenden Funktionen enthalten sind? Und ob es nicht vielleicht genau diese Funktionen sind, welche stetig sind. (zeige, dass jede nicht monotone Funktion auch nicht stetig ist)

Grüsse smile

16.04.2012, 20:50

Louis1991

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Moin,

Danke schonmal für deine Hilfe - ich glaube das letzte Mal hatte ich nicht geantwortet, also der Dank dafür ist hier gleich mal eingeschlossen!

Bei der Sache mit (R,S) -> (R,S) hatte ich tatsächlich einen ziemlichen Denkfehler drin, ich denke jetzt, dass tatsächlich alle monoton steigenden Abb. (die stetig in nat->nat sind, sonst könnte es ja Sprungstellen geben) stetig sein sollten - werde mich mal an dem Beweis versuchen, danke dir!

Das mit der Halbstetigkeit werde ich mir auch mal durchlesen und dann wohl (R,T) -> (R,S) in der Art versuchen zu "beschreiben". Notfalls fehlen dann halt 1-2 Pünktchen, auch nicht tragisch. Hauptsache, der Zettel ist kein Totalausfall. Augenzwinkern

lg
kai

EDIT: Meine Beweisskizze für "(R,S) -> (R,S) stetig g.d.w. streng monoton steigend und stetig in nat -> nat" steht. Kurze Rückfrage von mir, ob das so in Ordnung gehen sollte, bin leider etwas K.O. von anderen Aufgaben und VLs/Übungen heute - werde das wohl erst morgen sauber zu papier bringen. Aber Grundidee: Ich habe ein f(a), dass lokales Maximum ist. Also finde ich ein f(a+epsilon)<f(a). Jetzt schaue ich mir das Urbild von (-infty, f(a+epsilon)) an, das ist nach Vorraussetzung (f stetig) offen, also hat die Form (-infty, b). Es ist dann aber f^(-1)(a) nicht in (-infty, b) und gleichzeitig doch. Widerspruch.

16.04.2012, 22:12

gonnabphd

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Zitat:

"(R,S) -> (R,S) stetig g.d.w. streng monoton steigend und stetig in nat -> nat"

Solche Funktionen sind zwar stetig bzgl. S, aber das sind noch nicht alle. Es reicht aus, wenn f monoton ist (weder streng monoton, noch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ , noch stetig oder sonstwas wird benötigt - schau dir deinen Beweis nochmal an, benötigst du die Stetigkeit wirklich oder ginge das nicht auch ohne?)

17.04.2012, 05:40

Louis1991

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Moin,

das "streng" war ein Tippfehler, lag wohl an der Uhrzeit.

Aber, dass es ohne weiter Voraussetzung gehen soll, glaube ich irgendwie nicht.

Schaue ich mir mal

$\begin{eqnarray*} f(x)= x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$

an. Dann ist die ja jedenfalls monoton steigend.

Es ist aber das Urbild von $\begin{eqnarray*} (- \infty, 2.5) = (- \infty, 2] \end{eqnarray*}$ , also nicht abgeschlossen.
Da spielt dann eventuell die Halbstetigkeit mit rein? Weil für

$\begin{eqnarray*} f(x)= x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$

würde ja alles klappen.

17.04.2012, 08:04

gonnabphd

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Zitat:

Es ist aber das Urbild von $\begin{eqnarray*} (- \infty, 2.5) = (- \infty, 2] \end{eqnarray*}$ , also nicht abgeschlossen.
Da spielt dann eventuell die Halbstetigkeit mit rein?

Gutes Gegenbeispiel! Das zweite, abgeänderte zeigt auch tatsächlich eine zusätzliche Eigenschaft auf, welche ich gestern übersehen hatte (welche jedoch verlangt werden muss).

Was du meinst ist jedoch nicht Halbstetigkeit, sondern Rechtsstetigkeit. (Halbstetigkeit spielt sich auf dem Bild ab, Links-/Rechtsstetigkeit auf dem Definitionsbereich)

Mal schauen, ob es damit nun wirklich klappt: Also neue Vermutung

$\begin{eqnarray*} f: (\mathbb R, S)\to (\mathbb R, S) \text{ stetig} \iff f\text{ monoton steigend, rechtsstetig} \end{eqnarray*}$

Habe ein gutes Gefühl. Augenzwinkern

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