Ansatz für Dgl gesucht! (Mischung)

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michael- Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz für Dgl gesucht! (Mischung)
Hallo,
ich sitz grad an einer Differenzialgleichung und komme nicht auf den Ansatz! Das rechnen selber ist dann wohl kein Problem.
Folgende Aufgabenstellung:

Ein Kühler mit einem Fassungsvermögen von 18.5l enthält 2/3 reines Wasser und 1/3 Frostschutz. Man lässt 4.3l Flüssigkeit pro Minute ausfließen, während mit derselben Rate reines Wasser zufließt. Wie lange dauert es , bis der Kühler zu 95% reines Wasser enthält? Geht es schneller, wenn man zuerst mit jeweils derselben Rate genügend viel Flüssigkeit ausfließen lässt und dann mit reinem Wasser auffüllt?


mfg
Michael
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz für Dgl gesucht! (Mischung)
Sei w(t) die Wasssermenge im Kühler als Funktion der Zeit. Um zu der Differentialgleichung für w(t) zu kommen, betrachte die Bilanzgleichung für einen endlichen Zeitraum :



Für die abgeflossene Menge Wasser ergibt sich ein Integral über die gesuchte Funktion w(t). Durch Ableiten dieser Integralgleichung nach der Zeit ergibt sich die Differentialgleichung.

Alternativ und mehr ingenieurmäßig kann man die Bilanz in einem kleinen Zeitintervall betrachten, in dem w(t) als näherungsweise konstant angesehen werden kann. Alle Änderungen sind dann proportional . Division dieser Bilanzgleichung durch ergibt ebenfalls die gesuchte Differentialgleichung.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Sei die momentane Dichte des Frostschutzmittels zu einer beliebigen Zeit t. Wenn aus dem Tank ein differenziel kleines Volumen dV des Gemisches ausfließt, dann geht folgende differenziell kleine Menge des (reinen) Frostschutzmittels verloren



Die rechte Seite ist negativ, weil das Frostschutzmittel weniger wird. Das Volumen V des Gemisches, das pro Zeit ausfließt (also die "Förderleistung" f) ist gegeben durch . Wir stellen letztere Formel nach dV um gemäß und setzen dies in die erstere Formel ein, was ergibt



Division durch dt ergibt . Darin ersetzen wir die Masse m des Frostschutzmittels durch und erhalten . Da das Volumen V im Tank konstant bleibt (denn es läuft ja ständig Wasser nach), können wir den konstanten Faktor V vor die Ableitung schreiben, also . Division durch V liefert die gesuchte Differenzialgleichung 1.Ordnung für die variable Dichte



Darin sind die konstante "Förderleistung" und V=18,5 L das Volumen des Tanks. Die Anfangsdichte des Frostschutzmittels beträgt
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