DGL y' = y'' + x

16.04.2012, 22:07

G01

DGL y' = y'' + x

Edit (mY+): Hilfeersuchen - vor allem im Titel - sind unnötig!

Meine Frage:
Hallo,

es wäre sehr freundlich wenn mir jemand bei der Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} y' = y'' + x \end{eqnarray*}$ helfen könnte, bzw. einige Tipps geben könnte, wie ich das Lösen am besten angehe.
Entschuldigung falls die DGL nicht mehr unter die Kategorie Schulmathematik -> Analysis fällt, ich weis leider nicht so genau ob die DGL als einfache DGL bezeichnet werden kann. (Habe mich noch nicht allzu lange mit DGL's beschäftigt)

Meine Ideen:
Zuerst vereinfache ich die DGL per Substitution:
$\begin{eqnarray*} z = y' \end{eqnarray*}$ , so dass ich schreiben kann:
$\begin{eqnarray*} z = z' + x \end{eqnarray*}$
danach versuche ich die homogene LSG zu ermitteln:
$\begin{eqnarray*} z - z' = 0 ; z = e^{x} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} (e^x)' = e^x \end{eqnarray*}$

allerdings komme ich jetzt nicht mehr wirklich voran. Meine einzige Vermutung ist das die Funktion y irgendetwas mit e hoch x (bzw. möglicherweise e hoch -x) zu tun haben könnte.

Ich würde mich über Hilfe, Ratschläge und Tipps sehr freuen,

MfG G01

16.04.2012, 22:11

Helferlein

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Zum einen hast Du nur ein spezielles z ermittelt, zum anderen benötigst Du doch nur noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Die findest Du bereits unter den Polynomen.

16.04.2012, 22:12

Che Netzer

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RE: benötige hilfe bei DGL y' = y'' + x
Die homogene Lösung ist schonmal richtig. Zur inhomogenen nimmst du den Ansatz der rechten Seite. (wenn man denn hier von einer "rechten Seite" sprechen kann... Augenzwinkern

)
Danach nur noch rücksubstituieren.

mfg,
Ché Netzer

16.04.2012, 22:39

G01

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Erstmal danke für die schnellen Antworten. smile

Die haben mir echt geholfen und die nötige Motivation geschaffen die DGL zu lösen. Augenzwinkern

Ich habe mir jetzt die letzten Minuten nochmal einige Gedanken mit Berücksichtigung eurer Ratschläge gemacht.

Ich denke für $\begin{eqnarray*} z - z' = x \end{eqnarray*}$ stimmt $\begin{eqnarray*} z = e^x +x +1 \end{eqnarray*}$ denn dann ist $\begin{eqnarray*} z' = e^x + 1 ; und; z - z' = e^x + x +1 - e^x -1 = x \end{eqnarray*}$

jetzt nur noch hochintegrieren, dann ist y:

$\begin{eqnarray*} y= e^x + \frac{1}{2} x^2 +x +c \end{eqnarray*}$

wäre nett wenn ihr mich informiert ob die LSG richtig ist Augenzwinkern

und nochmals vielen Dank

G01

16.04.2012, 22:48

Helferlein

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Nicht ganz, denn Du hast meinen ersten Hinweis noch nicht berücksichtigt.
Eine homogene lineare DGL 2.Grades hat einen zweidimensionalen Lösungsraum.
Deiner ist aber nur eindimensional.

16.04.2012, 23:31

G01

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ok nochmal danke für die Antwort smile

allerdings muss ich zugeben ich komme trotz allem nicht auf die korrekte LSG der DGL.
( habe bisher auch nur mit leichteren hantiert, ich habe euch ja schon mitgeteilt, dass ich noch einigermaßen neu auf diesem Gebiet bin ( werde ich natürlich mit vielen Übungen und Aufgaben ändern ) ) ist jetzt also noch nach einer 2-ten LSG gefragt oder ist die LSG $\begin{eqnarray*} y = e^x + \frac{1}{2} x^2 +x +c \end{eqnarray*}$ inkorrekt?

Ich würde mich sehr freuen wenn du/ ihr mir die korrekte bzw. zweite LSG, wenn möglich mit kurzer Erklärung, mitteilen könntet.

Vielen Dank schon mal im Vorraus (bin ja jetzt trotz allem einige Schritte weiter gekommen, habe zumindest eine Perspektive smile

).

MfG

G01

16.04.2012, 23:52

Che Netzer

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Das einzige Problem liegt bei z'=z.
Dazu solltest du eine allgemeine Lösung haben. $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ löst die Gleichung zwar, aber es gibt noch unendlich viele weitere (und ähnliche) Funktionen, die das tun.

17.04.2012, 00:04

G01

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Danke für den Tipp,

also beispielsweise löst $\begin{eqnarray*} z = e^x + e^x \end{eqnarray*}$ die GL $\begin{eqnarray*} z' = z \end{eqnarray*}$
auch? B.z.w. $\begin{eqnarray*} z-z' = 0 \end{eqnarray*}$ ??
Könnte man dann eine allg. LSG beispielsweise mithilfe einer Reihe darstellen?

Freue mich auf Antworten

G01

17.04.2012, 00:23

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} e^x+e^x \end{eqnarray*}$ löst die DGL. Das kann man aber auch schöner als $\begin{eqnarray*} 2e^x \end{eqnarray*}$ darstellen.
Was weißt du denn über Lösungsräume linearer, homogener Differentialgleichungen?

(die Idee mit der Reihe solltest du schnell verwerfen Augenzwinkern

)

17.04.2012, 00:44

G01

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leider noch nichts wirklich brauchbares. (schätze mal der lsgs raum ist n dimensional bei einer homogenen linearen dgl n ter ordnung) damit kann ich aber auch nicht viel anfangen. ich werde mich noch mal informieren über eine allg. darstellung und lasse von mir hören.
danke für deine geduld und wie gesagt ich meld mich nochmal (auch falls ich zu keinem ergebniss komme)

MfG G01

17.04.2012, 19:36

G01

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Hi,
ich bins nochmal.

also als allgemeine LSG für $\begin{eqnarray*} z = z' \end{eqnarray*}$ fällt mir ehrlich gesagt nicht mehr ein, als das besprochene $\begin{eqnarray*} c e^x; \end{eqnarray*}$ , dass ja auch die homogene DGL löst.
Für mich zählt schon mal dass ich überhaupt auf eine spezielle LSG gekommen bin
( kann jetzt nachts wieder ruhig schlafen Augenzwinkern

).

und nochmals danke an Che Netzer ( e^x + e^x = 2e^x werd ich in meine Formelsammlung schreiben Wink

) und Helferlein

MfG G01

17.04.2012, 19:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von G01
also als allgemeine LSG für $\begin{eqnarray*} z = z' \end{eqnarray*}$ fällt mir ehrlich gesagt nicht mehr ein, als das besprochene $\begin{eqnarray*} c e^x; \end{eqnarray*}$

Das wurde ja eben nicht besprochen, du hast immer nur $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ angegeben Augenzwinkern

Zitat:

e^x + e^x = 2e^x werd ich in meine Formelsammlung schreiben

Wie wäre es noch mit $\begin{eqnarray*} \sin(x)+\sin(x)=2\sin(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \ln(x)+\ln(x)=2\ln(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1+1=2\cdot1 \end{eqnarray*}$ ?

17.04.2012, 20:03

G01

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Ich dachte das wäre klar als ich auf die z.B. z= 2e^x hingewiesen habe. (Wenn die Ableitung von e^x = e^x, (2e^x)' = 2e^x ist ist natürlich auch 3e^x abgeleitet 3e^x u.s.w.)
( sorry, werde mich demnächst klarer ausdrücken )

Das mit e^x + e^x = 2e^x in der Formelsammlung war doch nur spaß Wink

Mir ist NATÜRLICH klar dass man e^x + e^x zusammenfassen kann.
Das hatte ich abends nur so im Affekt geschrieben (ohne viel nachzudenken) weils spät war und ich das noch heute lösen wollte.

Was mich aber noch mehr erstaunt ist das $\begin{eqnarray*} ce^x \end{eqnarray*}$ die LSG ist?
Ich dachte das wäre komplizierter. ( Hab da natürlich ne Zeit lang rumgegoogelt nach Lösungsraum einer homogenen linearen DGL, habe aber nichts brauchbares gefunden)

Also nochmals danke, wenigstens habe ich die DGL jetzt durch. Bereit für neue Herausforderungen ( ich hoffe ich seh die LSG'en, also der inhomogenen DGL versteht sich, auch irgendwann auf den ersten Blick Augenzwinkern

, na ja Übung macht den Meister)

G01

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