Gruppenhomomorphismus und Untergruppen

16.04.2012, 22:55

NemesisFS

Gruppenhomomorphismus und Untergruppen

Hi,
ich hänge grade bei einer Aufgabe fest und ich finde wirklich keinen Ansatz, vielleicht könnt ihr mir ja einen Denkanstoß geben:
Es sind zwei Gruppen (G, °) und (G', *) gegeben. Nun sind Phi und Psi zwei Gruppenhomomorphismen und die Gruppe H:={g element G | psi(g)=phi(g)}.
Nun soll ich zeigen, dass H eine Untergruppe von G ist.

Ich steh echt aufm Schlauch, helft mir bitte weiter!

gruß nemesis

edit: Ich bin hier eindeutig im falschen Forum gelandet, kann das vllt ein Mod verschieben? =/

Edit Equester: Done Augenzwinkern

16.04.2012, 23:35

Mulder

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RE: Gruppenhomomorphismus und Untergruppen

Zitat:

Original von NemesisFS
Ich steh echt aufm Schlauch, helft mir bitte weiter!

Naja, es sind eben zwei Bedingungen zu prüfen.

Die erste ist, dass H abgeschlossen sein muss unter der Verknüpfung °. Die zweite ist, dass jedes Element in H ein Inverses haben muss. Fangen wir mit der ersten an: Seien $\begin{eqnarray*} g_1,g_2 \in H \end{eqnarray*}$ . Zeige nun: $\begin{eqnarray*} g_1 \circ g_2 \in H \end{eqnarray*}$ . Bring dafür die Gruppenhomomorphismen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ins Spiel.

Erstmal alles aufschreiben, was du jetzt über $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ weißt.

16.04.2012, 23:47

NemesisFS

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also in unserer Vorlesung hatten wir als Bedingungen für Untergruppen folgende angegeben:
das neutrale Element muss enthalten sein, für jedes beliebige Element muss das Inverse enthalten sein und für zwei beliebige Elemente muss die Verknüpfung beider enthalten sein.
für alle Elemente aus H weiß ich folgendes: sie sind Elemente von G, und $\begin{eqnarray*} \phi(g) = \psi(g) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur nicht, wie ich nur mit der Definition des Gruppenhomomorphismus dahin kommen soll.

16.04.2012, 23:52

Mulder

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Zitat:

Original von NemesisFS
das neutrale Element muss enthalten sein, für jedes beliebige Element muss das Inverse enthalten sein und für zwei beliebige Elemente muss die Verknüpfung beider enthalten sein.

Ja gut, das mit dem neutralen Element folgt eigentlich schon aus den anderen beiden Bedingungen. Meinetwegen kannst du es aber gerne auch für H noch explizit zeigen. Schwer ist das ja auch nicht.

Zitat:

Original von NemesisFS
Ich weiß nur nicht, wie ich nur mit der Definition des Gruppenhomomorphismus dahin kommen soll.

Damit $\begin{eqnarray*} g_1 \circ g_2 \in H \end{eqnarray*}$ ist, muss folglich, denn so ist $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ definiert worden, $\begin{eqnarray*} \phi (g_1 \circ g_2) = \psi(g_1 \circ g_2) \end{eqnarray*}$ gelten. Das kann man ganz simpel mit den Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen zeigen.

17.04.2012, 00:06

NemesisFS

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ich glaube ich habs jetzt:

$\begin{eqnarray*} \phi(g_1 \circ g_2) = \phi(g_1) * \phi(g_2) = \psi(g_1) * \psi(g_2) = \psi(g_1 \circ psi(g_0) \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} g_1 \circ g_2 \in H \end{eqnarray*}$ .

Nun muss ich noch irgendwie auf das Inverse und Neutrale kommen, meine Idee für das Inverse war folgendes:

Ich setze ich nun $\begin{eqnarray*} g_1 = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 = g^-1 \end{eqnarray*}$ stimmt das so? und für das neutrale Element könnte man es doch mit sich selbst verknüpfen, oder hab ich da nen Denkfehler?

OT: Wie kann ich in Latex die Potenz nach oben kriegen?

17.04.2012, 00:17

Mulder

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Zitat:

Original von NemesisFS
ich glaube ich habs jetzt:

$\begin{eqnarray*} \phi(g_1 \circ g_2) = \phi(g_1) * \phi(g_2) = \psi(g_1) * \psi(g_2) = \psi(g_1 \circ psi(g_0) \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} g_1 \circ g_2 \in H \end{eqnarray*}$ .

Da steht ganz am Ende irgendwie Blödsinn. Was soll denn $\begin{eqnarray*} psi(g_0) \end{eqnarray*}$ sein? ich nehme mal stillschweigend an, dass da eigentlich $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ stehen soll. Dann stimmt's.

Zitat:

Original von NemesisFS
Nun muss ich noch irgendwie auf das Inverse und Neutrale kommen, meine Idee für das Inverse war folgendes:

Ich setze ich nun $\begin{eqnarray*} g_1 = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 = g^-1 \end{eqnarray*}$ stimmt das so? und für das neutrale Element könnte man es doch mit sich selbst verknüpfen, oder hab ich da nen Denkfehler?

Wieso willst du jetzt andauernd verknüpfen? Gerade haben wir gezeigt, dass Verknüpfungen wieder in H liegen. Jetzt haben wir es nur mit einzelnen Elementen zu tun. Nimm dir ein g aus H und zeige, dass dann auch g^(-1) in H liegt. Wieder mit den Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen. Es geht wirklich nur darum, sauber hinzuschreiben, was man hat und was man zeigen will. Dann ist schon 90% der Aufgabe bewältigt.

Das mit dem neutralen Element erschlägt man auch sofort. Gruppenhomomorphismen bilden neutrale Elemente immer auf neutrale Elemente ab.

Zitat:

Original von NemesisFS
OT: Wie kann ich in Latex die Potenz nach oben kriegen?

Mit geschweiften Klammern: g^{-1}

17.04.2012, 00:55

NemesisFS

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Jep, habe mich da wohl verschrieben, bin noch nicht so geübt mit latex, richtig sollte es so lauten:

Verknüpfungen: $\begin{eqnarray*} \phi(g_1 \circ g_2) = \phi(g_1) * \phi(g_2) = \psi(g_1) * \psi(g_2) = \psi(g_1 \circ g_2) \end{eqnarray*}$

Dann noch:

Inverses Element: $\begin{eqnarray*} \phi(e_G) = e_{G'} = \psi(e_G) \end{eqnarray*}$

Neutrales Element: $\begin{eqnarray*} \phi(g^{-1}) = \phi(g)^{-1} = \psi(g)^{-1} = \psi(g^{-1}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

17.04.2012, 01:02

Mulder

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Ja, alles richtig so.

17.04.2012, 01:05

NemesisFS

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Super! Danke für die Hilfe!

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