Reihe mit Cosinus: geschlossene Form

16.04.2012, 22:56

xs2007

Reihe mit Cosinus: geschlossene Form

Meine Frage:
Moin moin,

ich (wir) stehen momentan vor einem Problem aus der Fourier-Synthese (es geht also darum die Signalfunktion aus Fourierkoeffizienten herzuleiten).
Dabei bin ich auf das folgende Konstrukt gestoßen und weiß beim besten Willen nicht, wie ich es in eine geschlossene Form bringen soll:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{cos(kx)}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Alle mir bekannten Reihen beinhalten keinen Cosinus, daher bin ich mit herkömmlichen Umformungen nicht wirklich weit gekommen. Ich habe auch probiert die e-Funktions-Darstellung des Cosiuns zu verwenden:
$\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$

Was aber auch nicht wirklich was gebracht hat, zumal ich so früher oder später als Teilterm
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} e^{inx} \end{eqnarray*}$
auflösen musste, wo ich absolut nicht weiss, gegen was das konvergiert. (Wenn es überhaupt gegen irgendwas konvergiert..)

Mit viel rumprobieren habe ich bei Wolfram Alpha rausgefunden, dass sich die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} \left( 1- ln\left( 2-2cos(x)\right) \right) \end{eqnarray*}$
exakt genau so verhält, wie die Reihe.
Aber wie man da hinkommen soll, weiss ich ebenfalls nicht.

Ein paar Umformungsschritte wären prima!
Vielen Dank im Vorraus!

16.04.2012, 23:09

gonnabphd

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Hi,

Auf eine geschlossene Form (falls eine solche denn existiert) kann man meines Wissens nur dadurch kommen, dass man "ratet" (oder eine Liste von Fourier-Reihen vieler Funktionen hat und dort nachschaut bzw. sonst irgendwas cleveres macht). Das macht auch Sinn, denn "geschlossene Form" ist eher etwas psychologisches, als etwas mathematisches.

Wenn du $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} \left( 1- ln\left( 2-2cos(x)\right) \right) \end{eqnarray*}$ vermutest, dann kannst du das nachprüfen, indem du die Fourierkoeffizienten von der rechten Seite bestimmst und mit denen von f(x) vergleichst.

Wink

17.04.2012, 09:51

Valdas Ivanauskas

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Es geht auch konstruktiv, ohne dass man rät.

Gliedweises differenzieren führt zunächst zu folgender Reihe

$\begin{eqnarray*} -\sum_{n=1}^\infty \sin(nx) \end{eqnarray*}$

welche sich mittels Eulerscher Formeln und geom. Reihe berechnet als

$\begin{eqnarray*} -\frac 1{2i}\left(\frac 1{1-e^{ix}}-\frac 1{1-e^{-ix}}\right)=\frac{-\sin(x)}{2-2\cos(x)}. \end{eqnarray*}$

Anschließende Integration liefert dann folgende Identität

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}n=-\frac 12\ln\left(1-\cos(x)\right) \end{eqnarray*}$

17.04.2012, 10:19

gonnabphd

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Zitat:

Es geht auch konstruktiv, ohne dass man rät.

Gliedweises differenzieren führt zunächst zu folgender Reihe

$\begin{eqnarray*} -\sum_{n=1}^\infty \sin(nx) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann ein Beispiel für

Zitat:

bzw. sonst irgendwas cleveres macht

Allerdings Vorsicht: Das nicht wirklich eine Hereitung, sondern bloss eine Heuristik, da $\begin{eqnarray*} -\sum_{n=1}^\infty \sin(nx) \end{eqnarray*}$ keine konvergente Reihe ist. Das kann in andern Fällen durchaus in die Hose gehen, wenn man so formal mit Reihen rumhantiert - es ist aber trotzdem sehr nützlich und eine gute Idee, um eine Funktion zu finden, welche als Kandidat in Frage kommt.

Nachdem Valdas Ivanauskas den Anstoss gegeben hat, sehe ich tatsächlich auch, wie man's sauber herleiten kann. Es ist (mit dem Hauptast des komplexen Logarithmus)

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}n &=& \mathrm{Re}\; \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{inx}}n \\ &=& \mathrm{Re}\; \mathrm{Log}(1- e^{inx}) \\ &=& \mathrm{Re} \left(\log\left|1-e^{inx}\right| + i \arg(1-e^{inx})\right) \\ &=& \log\left( \sqrt{(1-\cos(x))^2 + \sin^2(x)}\right) \\ &=& \ldots \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 00:58

xs2007

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Hey, sorry, dass ich mich jetzt erst melde, hatte die Woche sehr viel um die Ohren.

Mann, da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen... Die ist in so vielen Dimensionen gleichzeitig krass diese Lösung.
Vielen Dank an gonnabphd Big Laugh

und natürlich auch an Valdas Ivanauskas für die sehr kreative Idee.

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