Frage zu einem System

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23.01.2007, 14:21	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu einem System Hallo, habe hier ein kleines Problem und zwar soll ich sagen, ob (1,a,1-a) mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ 1: Linear unabhängig 2: Erzeugendensystem 3: Basis ist. Und meine Methode ist einfach mal für a 0, 1, 2 ,3 ,4 usw.. einsetzen und schauen ob ich dann irgendeinen der Vektoren durch die anderen ausdrücken kann. Da dies hier klappt ist also nur ein Erzeugendensystem hier vorhanden. Frage an euch : Wie kann ich das allgemein machen ? Kann ich ein Gleichungssytem aufstellen ? Wenn ja kann mir das bitte jemand mal zeigen wie das geht ? Bekomm das nicht gebacken Edit : Das System oben stammt aus dem R³ !
23.01.2007, 15:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu einem System So ganz verstehe ich die FRage noch nicht Silver, bislang sehe ich da nur einen Vektor stehen (1,a,a-1)^T, oder? Was soll da jetzt abhängig sein?
23.01.2007, 17:43	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ja das dachte ich auch aber ich denke es ist so gemeint, dass du durch einsetzen von a halt beliebig viele Vektoren erzeugen kannst. Die Menge der so erzeugten Vektoren bildet dann 1,2 und oder 3.
23.01.2007, 18:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix}1\\a\\a-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ folgt dann $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Jetzt nehmen wir dann 3 verschiedene a, also $\begin{eqnarray} a_1 \neq a_2 \neq a_3 \end{eqnarray}$ Denn mehr wie 3 linear unabhängige Vektoren gibt es in diesem Vektorraum nicht. Das müßte mann dann untersuchen.
23.01.2007, 18:17	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das war ein Punkt den ich nicht so genau gesehen hatte ist aber eigentlich ganz logisch. Ich betrachte mir dann also 3 Vektoren mit $\begin{eqnarray} a \neq b \neq c \end{eqnarray}$ für a1,a2,a3. Muss ich mir dann ein LSG aufstellen : x + y + z = 0 ax + by + cz = 0 (a-1)x + (b-1)y + (c-1)z = 0 Und das dann irgendwie lösen ?
23.01.2007, 18:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\a & b &c \\a-1 &b-1 &c-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun bestimme den Rang der Matrix.
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23.01.2007, 18:26	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das sieht dann so aus : $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\a & b &c \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist die Dimension des Aufgespannten Unterraumes 2. Damit sind meine 3 Vektoren nicht linear unabhängig und damit auch keine Basis des R³ und auch kein Erzeugendensystem des R³. Stimmt das soweit ? Edit : Hab oben bei der Aufgabenstellung hinzugefügt, dass das System aus dem R³ stammt ^^
23.01.2007, 18:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde ich so sehen
23.01.2007, 18:40	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen dank ! Kannst du hier noch ein Blick drauf werfen ich weiß nicht wie ich folgende Matrix weiter umformen kann... Aufgabenstellung wie oben nur dieses mal habe ich : (1,a,a²) Nungut meine Matrix sieht dann so aus : $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\a & b &c \\a^2 & b^2 & c^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.01.2007, 18:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal bei Vandermonde nach
23.01.2007, 19:03	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten hatten wa noch nicht
23.01.2007, 19:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir gings auch eher darum, dass die VandermondeMatrix regulär ist , wenn a,b,c paarweise verschieden sind
23.01.2007, 19:11	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar wenn also "regulär" bedeutet, das sie nicht weiter umzuformen ist und sie damit den Rang 3 hat müsste alles klar sein, dann habe ich ein linear unabhängiges System damit also ein Basis und natürlich auch ein Erzeugendensystem. Edit : Wenn du mir im anderen Threat noch nen Tip gibst wie ich das Komplement bestimme dann sind mir schon 2 große Sorgen aufgrund der anstehenden Klausur genommen ^^

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