Gerade konstruieren, die parallel zu einer Ebene ist

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fab123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade konstruieren, die parallel zu einer Ebene ist
Hallo leute!

folgende aufgaben bereitet mir im moment schwierigkeiten:

"ebene: (1/1/2) + r (-2/1/2) + s (1/-1/1)

Gib eine parametergleichung einer zur ebene E parallelen Geraden an."

parallel ist eine gerade ja zu einer ebene, wenn es nach dem gleichsetzen keine lösung gibt.... aber wie mache ich das jetzt?



lg,

fabian
The_Tower Auf diesen Beitrag antworten »

Klingelt es beim Stichwort Skalar-Produkt? smile
 
 
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber das geht da doch um orthagonalität? also ob die gerade im 90° winkel von der eben "absteht" ..wie kann mir das denn hier weiterhelfen verwirrt verwirrt
The_Tower Auf diesen Beitrag antworten »

wie steht denn der Normalenvektor der Ebene, zur Ebene?
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ist das nicht der vektor, der senkrecht zu ebene steht? stimmt, sorry.. das skalarprodukt war ja bei 2 vektoren, ob diese orthagonal sind verwirrt
The_Tower Auf diesen Beitrag antworten »

genau... und wenn nun der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene verläuft, dann sind Gerade und Ebene ...
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

...parallel!! super, das klingt sehr logisch! wäre ich nur nicht drauf gekommen smile

also ich würde jetzt wie folgt vorgehen:

1.schritt: normalenvektor der eben errechnen
2.schritt: normalenvektor * (a/b/c) = 0


richtig?? smile smile
The_Tower Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau smile

Dann fehlt nur noch der Stützvektor der Geraden.
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste dann ja der richtungvektor (den, den wir grade rausbekommen haben) multupliziert mit normalenvetkor = 0 sein... oder?
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grade konstruieren, die parallel zu einer ebene ist
ehhhm.... ein problem:

wenn ich jetzt den normalenvektor (3/4/3) mit (a/b/c) multiplizieren und gleich 0 setze.. sieht mein LGS aber so aus:

3a=0
4b=0
3c=0

?????
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Ebene in der Parameterform vorgegeben ist, kann man allerdings auch direkt einen der Spannvektoren als Richtungsvektor der Geraden nehmen. Der Stützvektor muß dann nur noch leicht verändert werden. (Nicht daß er zufällig auch die Ebene stützt.)

Erst einen Normalenvektor zu bestimmen und dann einen weiteren orthogonalen Vektor ist überflüssig.
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm stimmt eigtl.! und wie bekomme ich nun den stützvektor heraus? verwirrt verwirrt
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt unendlich vielemögliche Stützvektoren. Du kannst den SV der Ebene nehmen und eine der drei Komponenten verändern, so daß er unmöglich in der Ebene liegen kann.
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich ja eigtl. gar nicht rechnen müssen!

einfach nur einen richtungvektor der eben nehmen und bei dem sv der ebene nehmen und den x, y oder z -wert verändern?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. wenn Du als Stützvektor z.B. nimmst, ergibt eine Punktprobe, daß der Punkt nicht in der Ebene liegt. Die ersten beiden Gleichungen liefern r und s gleich Null, die dritte Gleichung s=1. Bingo! Der Punkt liegt nicht in der Ebene.

Nebenbei: Dein Normalenvektor war leider falsch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen Verständnis schließt Parallelität von Gerade und Ebene das Enthaltensein der Geraden in der Ebene nicht aus. Insofern braucht man auch keine Rücksicht auf den Stützvektor zu nehmen. Und für den Richtungsvektor taugt jede (!) vom Nullvektor verschiedene Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene.
Es gibt jedoch auch Leute, die das anders sehen. Das widerspricht jedoch der sonst üblichen mathematischen Praxis. Keiner würde ja sagen: Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, bei dem nicht alle Seiten gleich groß sind - und damit das Quadrat als Rechteck ausschließen. Und genau so wenig braucht man hier das Enthaltensein als Parallelität ausschließen.
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok alles klar, vielen dank!
ich werde den normalenvektor nochmal eben berichtigen!


danke an euch beide smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Du hast natürlich völlig Recht, ich habe mich da leider zu sehr von der Umgangssprache leiten lassen. Ich werde in Zukunft mehr darauf achten.
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

die 2. aufgabe lautet:
"gib eine gleichung einer zweiten ebene an, die zu E parallel ist"

kann ich hier auch einfach die richtungsvektoren übernehmen und den stützvektor der eben E an einer komponente verändern?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Und da hier von einer zweiten Ebene gesprochen wird, nehme ich an, daß diese zweite Ebene echt parallel sein soll, also nicht in der ersten Ebene liegt. Auf alle Fälle machst Du mit dieser Vorgehensweise nichts falsch. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Off-topic

Zitat:
Original von Leopold
Keiner würde ja sagen: Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, bei dem nicht alle Seiten gleich groß sind - und damit das Quadrat als Rechteck ausschließen.

Ich erinnere mich undeutlich mal an einen diesbezüglichen Fauxpas in der Quizsendung eines gewissen Herrn Jauch, ist schon einige Jährchen her. Also muss man das mit dem "Keiner" relativieren - Quizfragenautoren im deutschen Fernsehen schon. Big Laugh
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja schon fast zu einfach verwirrt verwirrt

Ebene E: (1/1/2) +r(-2/1/2) +s(1/-1/1)

jene, die parallel sein soll (von mir konstruiert):

E: (1/1/3) +r(-2/1/2) +s(1/-1/1)



das ist so richtig??? wie gesagt.... zu einfach Big Laugh
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so einfach und richtig ist das. Man kann es sich zwar komplizierter machen, indem man neue Richtungsvektoren durch Linearkombinationen der alten erstellt, das wäre aber eine Arbeitsbeschaffungsmaßnahme.

Ich befinde mich zur Zeit in einer angeregten Diskussion mit mir selbst und bin der Meinung, daß die zweite Ebene doch in der ersten liegen darf. Ich empfehle aber sicherheitshalber, bei einer Klausur Ebenen und auch Geraden immer echt parallel aufzustellen. (Es kommt auch darauf an, was ihr in der Schule besprochen habt.) Das vermeidet eventuell Diskussionen mit dem Lehrer. Augenzwinkern
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, ich werde es genau so machen! Freude
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Spaß dabei! Wink
fab123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke! und vielen dank für die tolle hilfe!! Freude Freude smile
Kedor_Laomer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe mal, es fällt nicht unter ausgraben, wenn der Thread 3 Monate alt ist.
opi schrieb:

Zitat:
Original von opi
Es gibt unendlich vielemögliche Stützvektoren. Du kannst den SV der Ebene nehmen und eine der drei Komponenten verändern, so daß er unmöglich in der Ebene liegen kann.


Ähnliches lese ich auch in meinem Studienheft, da heißt es:

"Es soll die Parameterform einer zur Ebene Z parallel verlaufenden Gerade g1 aufgestellt werden. Dies gelingt, indem man las Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der beiden Spannvektoren der Ebene verwendet und den Stützvektor der Geraden so wählt, dass er nicht in der Ebene Z liegt. Einen solchen Vektor zu finden ist ganz einfach: Ändert man nur eine Komponente z.B. im Stützvektor der Ebene, so ergibt sich ein Punkt, der sicher nicht in Z liegt."

Meine Frage dazu ist Folgende:
Wie kann man sich gleich sicher sein, dass der veränderte Stützvektor nicht ein Ortsvektor für einen Punkt der Ebene ist? (Bei mir im Heft verlangt man übrigens, dass parallele Konstrukte nicht identisch sind, bzw. nicht ineinander liegen).
Ich jedenfalls finde, eine Punktprobe ist hier unerlässlich. In meinem Heft ist davon aber nicht die Rede. Irre ich mich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



und liegen in . Die zugehörigen Parameterwahlen sind offensichtlich.
Kedor_Laomer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Leopold! Also war der Fehler im Heft.

Wenn ich es mir recht überlege, dann würde der Vorschlag im Heft, eine Komponente des Stützvektors zu verändern, aber zumindest dann sicher klappen, wenn keine der Komponenten der Spannvektoren 0 ist. Ich lass das erstmal so stehen. Falls ich mich irre, korrigiert mich bitte. Danke noch mal!


edit: ach mist, das stimmt ja auch nicht so. Ok, ich mach lieber stets die Punktprobe, wenn es nicht offensichtlich ist.
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