Rekonstruktionsaufgabe |
| 17.04.2012, 12:47 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rekonstruktionsaufgabe Aufgabe: - Gegeben ist eine Funktion 4. Grades - Sattelpunkt bei S (2/2) - Minimum auf der Y-Achse - Wendetangente bei x=2/3 , die parallel zur Gerade g(x)=32/27x - 2 ist. Gesucht: Funktion ?? Also ich würde sagen als 1. schreibe ich erstmal: ax^4 + bx³ + cx² + dx + e 1. Ableitung: 4ax³ + 3bx² + 2cx + 1 2. Ableitung: 12ax² + 6bx + 2c dann versuche ich, da 5 unbekannte, 5 gleichungen aufzustellen. 1. Der Sattelpunkt ist gleichzeitig auch eine Gleichung, also f(2) = 2 2. Am Sattelpunkt ist die Steigung gleich 0, also f'(2) = 0 3. Eine Wendetangente bei x=2/3 f''(2/3) = 0 4. Minimum auf Y-Achse heißt, Steigung im Minimum =0: f'(0) = 0 5. Da die Gerade g parallel zur tangente ist, hat die tangente im punkt x=2/3 auch die steigung der Geraden. f'(2/3) = 32/27 jetzt habe ich 5 Gleichungen und hoffe dass diese richtig sind. nun muss ich die ja in die formel der funktion einsetzen: 1. a2^4 + b2³ + c2² + d2 + e = 2 16a + 8b + 4c + 2d + e = 2 2. 4a2³ + 3b2² + 2c2 + 1 = 0 32a + 12b + 4c + 1 = 0 3. 12a2/3² + 6b2/3 + 2c = 0 5,33a + 4 + 2c = 0 4. 4a0³ + 3b0² + 2c0 + 1 = 0 0a + 0b + 0c + 1 = 0 5. 4a2/3³ + 3b2/3² + 2c2/3 + 1 = 32/27 1,1851a + 1,3333b + 1,3333c + 1 = 32/27 irgendwie habe ich schon das gefühl dass ich irgendwie was falsch gemacht habe. was meint ihr ? und jetzt muss ich die miteinander "verrechnen". wie ist das jetzt nochmal, man nimmt das additionsverfahren und nimmt immer 2 gleichungen und und ehm.... ich habe das schonmal gemacht, nur leider ist es wieder verblasst. könnt ihr mir nochmal auf die sprünge helfen ? vielen dank schonmal gruß Smuji |
||||
| 17.04.2012, 13:11 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis auf einen Fehler in der ersten Ableitung sieht es für mich in Ordnung aus. |
||||
| 17.04.2012, 13:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die 1. Ableitung hat hinten nicht 1, sondern d Soviel, was ich auf die Schnelle gesehen habe ... mY+ |
||||
| 17.04.2012, 13:21 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh sorry, klar verstehe.... mein fehler das mit der ableitung. wird sofort geändert. aber wie geht es weiter ? |
||||
| 17.04.2012, 13:55 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prinzipiell steht jetzt das Lösen an. Ich würde aber noch mal schauen, ob es nicht noch "einfachere" Bedingungen gibt, die Du nicht berücksichtigt hast. Wenn Du nämlich erst einmal nur versuchst die zweite Ableitung zu bestimmen, kannst Du danach durch Integrieren und Einsetzen der übrigen Bedingung vermutlich schneller und einfacher zu einer Lösung kommen. |
||||
| 17.04.2012, 13:58 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm... irgendwie werdei ch daruas nicht schlau ? kannst du mir ein beispiel zeigen ? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 17.04.2012, 14:07 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn ein Sattelpunkt? Du hast ihn als Punkt mit der Steigung Null in die Rechnung einfliessen lassen. Das ist zwar richtig, aber nicht die Definition eines Sattelpunktes. |
||||
| 17.04.2012, 14:10 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ein sattelpunkt ist auch gleich ein wendepunkt ?!? |
||||
| 17.04.2012, 14:18 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...mit der Steigung Null, ja. Du hast also im Text zwei Bedingungen, die sich auf Nullstellen der zweite Ableitung beziehen. Sie ist also fast schon eindeutig. Entweder nutzt Du die Eigenschaft um die unbequeme Steigung der Wendetangente erst einmal außen vor zu lassen, oder Du bestimmst über die beiden Nullstellen die zweite Ableitung und integrierst dann zweimal, um die Funktion bzw. erste Ableitung unter Berücksichtigung der beiden Wendestellen zu bekommen. Einfaches Beispiel: Eine Funktion dritten Grades hat bei x=1 einen Wendestelle und bei x=2 und x=0 Nullstellen. Außerdem verläuft sie durch den Punkt P(1/1). Wie lautet die Funktion? Wegen f''(1)=0 ist f''(x)=a(x-1) und somit Da f(0)=0 ist c=0. Einsetzen von f(2)=0 und f(1)=1 führt schließlich auf b und a. |
||||
| 18.04.2012, 11:52 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm also ich muss zugeben, das mit dem integrieren ist mir noch ein wenig zu hoch. ich muss erst das thema kurvendiskussion,tangente,normale etc. abschließen und mich erst dann noch auf integralrechnung konzentrieren. dein beispiel und so ist mir ehrlich gesagt noch zu hoch. kann dem nicht folgen. mein lehrer hatte das damals ohne integral gelöst und wollte dies auch von uns..hmmm. ich muss mich erstmal auf das lösen ohne integrieren konzentrieren und vllt erst danach wenn ich mich mit integralrechnung beschäftige, kann ich beides kombinieren und es mal auf dieser art und weise probieren. mit unangenehme steigung meinst du, dass es sich um einen bruch handelt und daher ein wenig doof ist zu rechnen, oder ? musst erstmal sehen wie ich die einzelnen gleichungen miteinander verrechnen um die einzelnen variabelen heraus zu bekommen. wie löse ich das LGS nochmal ? mit dem GTR habe ich iwo gelesen, nur was heißt GTR ?`muss das nochmal durchlesen. weiß nicht mehr wie ich das genau mache. nehme ich 2 gleichungen bei denen die gleichen variablen vorhanden sind, bis aud dass bei einer eine variable mehr ist die ich heraus bekommen will und dann lösen ich das iwie per additionsverfahren ? habe das in der vergangenheit schonmal gemacht, nur da es ne weile her ist, ist es verblasst. könnt ihr mir kurz mal auf die sprünge helfen ? |
||||
| 18.04.2012, 16:02 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit unbequem meine ich diese Gleichung:
Oder findest Du, dass solche krummen Zahlen leicht zu handhaben sind? Mir persönlich wären ganze Zahlen oder zumindest "kleinere" Brüche lieber. Daher halte ich es nach wie vor für besser, wenn Du stattdessen die Bedingung des Sattelpunktes verwendest: f''(2)=0 Klar musst Du am Ende noch prüfen, ob die Wendetangente damit die gewünschte Steigung hat, aber das ist durch Einsetzten recht schnell gemacht. Ansonsten musst Du die Brüche jedesmal mitschleppen, was das verrechnen mit den anderen Gleichungen nicht gerade übersichtlich macht. Ein GTR ist ein Graphiktaschenrechner und das Gleichungssystem löst man mittels Gauß-Verfahren. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
