empirische Verteilungsfunktion

17.04.2012, 14:52

Gast11022013

empirische Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo, ich habe da mal eine Verständnisfrage:

In Statistik I haben wir die empirische Verteilungsfunktion so definiert:

Zitat:

Statistik I

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch gemäß $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ verteilt.

Bezeichne $\begin{eqnarray*} \hat{F}^{(n)}(a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\chi_{(-\infty,a]}(X_i) \end{eqnarray*}$ die empirische Verteilungsfunktion.

In diesem Zusammenhang war zu zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} P(\hat{F}^{(n)}(a)=\frac{m}{n})=\binom{n}{m}(F(a))^m(1-F(a))^{n-m}, m=0,1,...,n \end{eqnarray*}$ .

Nun lese ich auf einem Aufgabenblatt aus der Statistik II (Nichtparametrik) diese Aufgabe hier:

Zitat:

Statistik II

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch gemäß $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ verteilt. Bezeichne $\begin{eqnarray*} \hat{F}_{n}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\chi_{[X_i,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$ die empirische Verteilungsfunktion.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} P(\hat{F}_{n}(x)=\frac{m}{n})=\binom{n}{m}(F(x))^m(1-F(x)){n-m}, m=0,1,...,n \end{eqnarray*}$

Ist das nicht die identische Aufgabenstellung, nur, daß man die charakteristische Funktion anders geschrieben hat?

Oder verstehe ich da irgendwas falsch, das man jetzt bei der Nichtparametrik anders betrachten/ behandeln muss?

Meine Ideen:
Ich würde sagen, die Aufgabenstellungen sind identisch - bis auf den Unterschied, wie gesagt, daß man die charakteristische Funktion anders ausgedrückt hat:

Bei der ersten Formulierung ist die charakteristische Funktion 1 genau dann, wenn jeweils der angenommene Wert der Zufallsvariablen kleiner gleich dem Wert a ist.

Bei der zweiten Formulierung ist die charakteristische Funktion 1 genau dann, wenn der Wert x größer gleich dem angenommenen Wert der jeweiligen Zufallsvariablen ist.

Für mich ist das identisch...

18.04.2012, 10:40

HAL 9000

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Das ist in der Tat dasselbe. Man muss sich nur die für reelle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gültige Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} \chi_{(-\infty,a]}(b) = 1 \quad\Leftrightarrow\quad b\leq a \quad\Leftrightarrow\quad \chi_{[b,\infty)}(a) = 1 \end{eqnarray*}$

klarmachen, hier für $\begin{eqnarray*} b=X_i \end{eqnarray*}$ angewandt.

P.S.: Derartige Umformungen der Indikatorfunktion sind ja gang und gäbe, man denke nur an die Vertauschung der Integrationsreihenfolge (Fubini) bei folgenden "dreieckigen" Integrationsbereich

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^x f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x &=& \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\infty} f(x,y)\cdot \chi_{(-\infty,x]}(y) ~ \dd y ~ \dd x \stackrel{Fub}{=} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\infty} f(x,y)\cdot \chi_{(-\infty,x]}(y) ~ \dd x ~ \dd y\\ &=& \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\infty} f(x,y)\cdot \chi_{[y,\infty)}(x) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^{\infty} \int\limits_y^{\infty} f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

18.04.2012, 13:13

Gast11022013

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Dankeschön für die Antwort.

Stimmt, wenn man sich die beiden charakteristischen Funktion anschaut und schaut, wann sie jeweils den Wert 1 bzw. 0 annehmen, sieht man wirklich leicht, daß beide Definitionen gleichbedeutend sind.

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