Parallelenaxiom von Euklid

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LiGo Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelenaxiom von Euklid
Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt der nicht auf ihr liegt genau eine Parallele

Zu grunde liegendes Themengebiet ist die Prädikatenlogik

Drücken Sie das Axiom durch eine metasprachliche Formel aus. Sie dürfen als Relation nur Auf(g,A) mit der Bedeutung "der Punkt A liegt auf der geraden g" sowie die Gleichheitsrelation benutzen. Benutzen Sie zunächst zwei Sorten von Variablen.

Also hab ich das mal mit dem gegebenen in eine Formel gepackt:



Allerdings trifft diese Formel meiner Meinung nach nicht 100% ig die Aussage des Axioms.

Natürlich müssen die beschriebenen Geraden Paralell sein, da sie sonst einen gemeinsamen Punkt haben müssten, aber genügt das? Ist die Formel eindeutig genug so? Oder fehlt noch was?

Dann geht die Aufgabe noch weiter:

Geben Sie unter Verwendung eines geeigneten weiteren Prädikats eine einsortige Formel an

Das Prädikat ist vermutlich genau das "g ist paralell zu f". Dann fallen die Punkte als Variablen und das Prädikat Auf(g,A) weg. Ist die formel dann einsortig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallelenaxiom von Euklid
Zitat:
Original von LiGo

Das trifft das Axiom nun überhaupt nicht! Ich lese dir deine Formel mal in Worten vor:

Zu jeder Geraden g gibt es eine Gerade f mit folgender Eigenschaft: Es ist g ungleich f und für jeden Punkt A gilt, A liegt auf g aber nicht auf f.

Du musst zunächst mal das Prädikat parallel (f, g) auf das Prädikat Auf (f, A) zurückführen, denn das Prädikat parallel steht dir laut Aufgabe nicht zur Verfügung. Dann musst du dir überlegen, wie man genau ein prädikatenlogisch ausdrücken kann. Die Formel für das Axiom könnte dann so beginnen:



Mit einer einsortigen Formel ist wohl gemeint, dass es keine unterschiedlichen Variablensymbole für Geraden und Punkte gibt. Jede Variable kann dann sowohl für einen Punkt wie auch für eine Gerade stehen. Um was es sich handelt, muss dann durch ein Prädikat ausgedrückt werden, z. B. Punkt (f) soll heißen, f ist ein Punkt. Wenn es nur Punkte und Geraden gibt, lässt sich f ist eine Gerade ausdrücken durch .
LiGo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok... versuchen wir es nochmal:




Das genau ein habe ich versucht durch auszudrücken. Habe schon befürchtet dass das nicht geht. Aber drückt obrige formel das jetzt zu genüge aus?
Und ist jetzt das parallel(f,g) ausreichend berücksichtigt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir schon mehr Mühe geben! Ich sehe überhaupt nicht, wo du parallel (f, g) berücksichtigt hast. Versuch das doch erst mal in Worten auszudrücken

zwei Geraden g und f heißen parallel, wenn ...

bevor du das formalisierst und in das Axiom einbaust.

Ich weiß nicht, ob und wie ihr definiert habt. Wenn ihr das als es gibt genau ein definiert habt, kannst du es sicher verwenden. Ich kenne es nur so, dass man das umschreiben muss. Da kannst du dir die Peanoaxiome als Vorbild nehmen. Eines könnte lauten:

Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger.

So wird es aber üblicherweise nicht formuliert, sondern das wird in zwei Axiome auseinandergezogen, die dann zusammen die Bedeutung von genau ein haben.
LiGo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallelenaxiom von Euklid
Ok. Ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen!

Zwei Geraden heissen parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben, also:



Auch das "genau ein" habe ich denke ich verstanden, also müsste das Axiom heissen:



Kommt das der Sache jetzt näher?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallelenaxiom von Euklid
Es geht voran, wenn auch mühsam.

Zitat:
Original von LiGo


Das ist in Ordnung bis auf ein fehlendes A hinter forall. Also korrekt:



Eine alternative Möglichkeit wäre:



Aber in das Parallelenaxiom hast du das nirgends eingebaut:

Zitat:


Ich mache das mal mit dem Pseudocode Par(g, f):



Da musst du nor noch den Pseudocode Par (g, f) durch den tatsächlichen Code ersetzen. Allerdings solltest du dabei das in Par(g, f) auftretende A durch einen anderen Buchstaben ersetzen, denn A taucht ja in dem Axiom schon vorher in gebundener Form auf.

Weshalb benutzt du statt ?
 
 
LiGo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallelenaxiom von Euklid
Ok. Laß es mich versuchen:



Ich glaub das habe ich auch verstanden jetzt ... Freude


Zitat:
Weshalb benutzt du statt ?

Das habe ich woanders gesehen und dachte das sollte so sein...

Um jetzt die einsortig keit zu gewährleisten, ersetze ich jetzt alle Variablen, die für Punkt oder Geraden stehen durch oder und das ist alles?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein logisches Zeichen aus der formalen Sprache in der man arbeitet. Man benutzt es um es vom metasprachlichen zu unterscheiden.
Im anderen Thread von LiGo findet sich z.B.
Zitat:


ist Teil der L-Formeln, wird benutzt um anzuzeigen, dass zwei Fomeln auf gleich sind. Letzteres passiert außerhalb der formalen Sprache.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallelenaxiom von Euklid
Das Axiom sollte jetzt passen.

Bei der einsortigen Darstellung kann man nicht einfach z. B. f durch Punkt(f) oder nicht Punkt(f) ersetzen. Man muss das an passender Stelle jeweils als Aussage hinzufügen. Ich beginne mal damit:



Ich kenne es nur so, dass man für die prädikatenlogische Gleichheit das normale Gleichheitszeichen verwendet. Aber das mag unterschiedlich gehandhabt werden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@pseudo-nym
Danke für die Info!
Ältere Werke scheinen dieser Konvention nicht immer zu folgen. Bin leider auf dem Gebiet überhaupt nicht up-to-date, was die aktuellenn gebräuchlichen Konventionen betrifft.
LiGo Auf diesen Beitrag antworten »

Let me try:



Zufrieden?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte passen, falls ich beim Scrollen nicht den Überblick verloren habe.
LiGo Auf diesen Beitrag antworten »

Tanzen Super. Vielen Dank für Deine hilfe!
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